Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58308 / 86180
↖ ↑ ↗
← S 49.217597°
W 19.852295°		 ← 199.50 m → S 49.217597°
W 19.849548°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
S 49.219391°
W 19.852295°		 ← 199.49 m →
39 795 m²		 S 49.219391°
W 19.849548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444858551025391 y=0.657505035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444858551025391 × 217)
    floor (0.444858551025391 × 131072)
    floor (58308.5)     		tx = 58308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657505035400391 × 217)
    floor (0.657505035400391 × 131072)
    floor (86180.5)     		ty = 86180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58308 / 86180 ti = "17/58308/86180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58308/86180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58308 ÷ 217
    58308 ÷ 131072     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86180 ÷ 217
    86180 ÷ 131072     		y = 0.657501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.31500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.989609355756439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989609355756439))-π/2
    2×atan(0.371721873672972)-π/2
    2×0.355893603704011-π/2
    0.711787207408021-1.57079632675     		φ = -0.85900912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85900912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.217597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58308 KachelY 86180 -0.34648791 -0.85900912 -19.852295 -49.217597
    Oben rechts KachelX + 1 58309 KachelY 86180 -0.34643997 -0.85900912 -19.849548 -49.217597
    Unten links KachelX 58308 KachelY + 1 86181 -0.34648791 -0.85904043 -19.852295 -49.219391
    Unten rechts KachelX + 1 58309 KachelY + 1 86181 -0.34643997 -0.85904043 -19.849548 -49.219391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85900912--0.85904043) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85900912--0.85904043) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34643997) × cos(-0.85900912) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65318807878428 × 6371000     		do = 199.500452321967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34643997) × cos(-0.85904043) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653164370666635 × 6371000     		du = 199.493211252591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85900912)-sin(-0.85904043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65318807878428-0.653164370666635)×R²
    abs(-0.34643997--0.34648791)×2.37081176449605e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37081176449605e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37081176449605e-05×40589641000000     		ar = 39794.8320158457m²