Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58308 / 28380
↖ ↑ ↗
← N 70.877091°
W 19.852295°		 ← 100.06 m → N 70.877091°
W 19.849548°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 70.876191°
W 19.852295°		 ← 100.06 m →
10 015 m²		 N 70.876191°
W 19.849548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444858551025391 y=0.216526031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444858551025391 × 217)
    floor (0.444858551025391 × 131072)
    floor (58308.5)     		tx = 58308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216526031494141 × 217)
    floor (0.216526031494141 × 131072)
    floor (28380.5)     		ty = 28380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58308 / 28380 ti = "17/58308/28380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58308/28380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58308 ÷ 217
    58308 ÷ 131072     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28380 ÷ 217
    28380 ÷ 131072     		y = 0.216522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216522216796875 × 2 - 1) × π
    0.56695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78114344228281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78114344228281))-π/2
    2×atan(5.93664074515488)-π/2
    2×1.40391746203137-π/2
    2.80783492406275-1.57079632675     		φ = 1.23703860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23703860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.877091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58308 KachelY 28380 -0.34648791 1.23703860 -19.852295 70.877091
    Oben rechts KachelX + 1 58309 KachelY 28380 -0.34643997 1.23703860 -19.849548 70.877091
    Unten links KachelX 58308 KachelY + 1 28381 -0.34648791 1.23702289 -19.852295 70.876191
    Unten rechts KachelX + 1 58309 KachelY + 1 28381 -0.34643997 1.23702289 -19.849548 70.876191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23703860-1.23702289) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23703860-1.23702289) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34643997) × cos(1.23703860) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327595700868102 × 6371000     		do = 100.056159358509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34643997) × cos(1.23702289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327610543918485 × 6371000     		du = 100.060692808156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23703860)-sin(1.23702289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327595700868102-0.327610543918485)×R²
    abs(-0.34643997--0.34648791)×1.48430503837393e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48430503837393e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48430503837393e-05×40589641000000     		ar = 10014.6887740027m²