Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58308 / 28341
↖ ↑ ↗
← N 70.912151°
W 19.852295°		 ← 99.88 m → N 70.912151°
W 19.849548°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
N 70.911252°
W 19.852295°		 ← 99.88 m →
9 978 m²		 N 70.911252°
W 19.849548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444858551025391 y=0.216228485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444858551025391 × 217)
    floor (0.444858551025391 × 131072)
    floor (58308.5)     		tx = 58308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216228485107422 × 217)
    floor (0.216228485107422 × 131072)
    floor (28341.5)     		ty = 28341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58308 / 28341 ti = "17/58308/28341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58308/28341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58308 ÷ 217
    58308 ÷ 131072     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28341 ÷ 217
    28341 ÷ 131072     		y = 0.216224670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216224670410156 × 2 - 1) × π
    0.567550659179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.78301298136799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78301298136799))-π/2
    2×atan(5.9477499083343)-π/2
    2×1.40422341820203-π/2
    2.80844683640407-1.57079632675     		φ = 1.23765051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23765051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.912151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58308 KachelY 28341 -0.34648791 1.23765051 -19.852295 70.912151
    Oben rechts KachelX + 1 58309 KachelY 28341 -0.34643997 1.23765051 -19.849548 70.912151
    Unten links KachelX 58308 KachelY + 1 28342 -0.34648791 1.23763483 -19.852295 70.911252
    Unten rechts KachelX + 1 58309 KachelY + 1 28342 -0.34643997 1.23763483 -19.849548 70.911252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23765051-1.23763483) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23765051-1.23763483) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34643997) × cos(1.23765051) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327017495989162 × 6371000     		do = 99.879560705487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34643997) × cos(1.23763483) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327032313835656 × 6371000     		du = 99.8840864572176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23765051)-sin(1.23763483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327017495989162-0.327032313835656)×R²
    abs(-0.34643997--0.34648791)×1.48178464937088e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48178464937088e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48178464937088e-05×40589641000000     		ar = 9977.9224975622m²