Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58307 / 86463
↖ ↑ ↗
← S 49.722704°
W 19.855042°		 ← 197.45 m → S 49.722704°
W 19.852295°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
S 49.724479°
W 19.855042°		 ← 197.45 m →
38 984 m²		 S 49.724479°
W 19.852295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444850921630859 y=0.659664154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444850921630859 × 217)
    floor (0.444850921630859 × 131072)
    floor (58307.5)     		tx = 58307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659664154052734 × 217)
    floor (0.659664154052734 × 131072)
    floor (86463.5)     		ty = 86463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58307 / 86463 ti = "17/58307/86463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58307/86463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58307 ÷ 217
    58307 ÷ 131072     		x = 0.444847106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86463 ÷ 217
    86463 ÷ 131072     		y = 0.659660339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444847106933594 × 2 - 1) × π
    -0.110305786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34653585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659660339355469 × 2 - 1) × π
    -0.319320678710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.00317549834892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34653585} λ = -0.34653585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00317549834892))-π/2
    2×atan(0.366713093461117)-π/2
    2×0.351485718085815-π/2
    0.70297143617163-1.57079632675     		φ = -0.86782489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34653585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.855042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86782489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.722704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58307 KachelY 86463 -0.34653585 -0.86782489 -19.855042 -49.722704
    Oben rechts KachelX + 1 58308 KachelY 86463 -0.34648791 -0.86782489 -19.852295 -49.722704
    Unten links KachelX 58307 KachelY + 1 86464 -0.34653585 -0.86785588 -19.855042 -49.724479
    Unten rechts KachelX + 1 58308 KachelY + 1 86464 -0.34648791 -0.86785588 -19.852295 -49.724479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86782489--0.86785588) × R
    3.0990000000064e-05 × 6371000     		dl = 197.437290000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86782489--0.86785588) × R
    3.0990000000064e-05 × 6371000     		dr = 197.437290000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34653585--0.34648791) × cos(-0.86782489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646487520073336 × 6371000     		do = 197.453929219034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34653585--0.34648791) × cos(-0.86785588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646463876730745 × 6371000     		du = 197.446707933627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86782489)-sin(-0.86785588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646487520073336-0.646463876730745)×R²
    abs(-0.34648791--0.34653585)×2.36433425909732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36433425909732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36433425909732e-05×40589641000000     		ar = 38984.055812757m²