Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58307 / 29363
↖ ↑ ↗
← N 69.972671°
W 19.855042°		 ← 104.60 m → N 69.972671°
W 19.852295°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.971730°
W 19.855042°		 ← 104.60 m →
10 936 m²		 N 69.971730°
W 19.852295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444850921630859 y=0.224025726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444850921630859 × 217)
    floor (0.444850921630859 × 131072)
    floor (58307.5)     		tx = 58307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224025726318359 × 217)
    floor (0.224025726318359 × 131072)
    floor (29363.5)     		ty = 29363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58307 / 29363 ti = "17/58307/29363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58307/29363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58307 ÷ 217
    58307 ÷ 131072     		x = 0.444847106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29363 ÷ 217
    29363 ÷ 131072     		y = 0.224021911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444847106933594 × 2 - 1) × π
    -0.110305786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34653585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224021911621094 × 2 - 1) × π
    0.551956176757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.73402146995629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34653585} λ = -0.34653585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73402146995629))-π/2
    2×atan(5.66338330080714)-π/2
    2×1.39602490997852-π/2
    2.79204981995704-1.57079632675     		φ = 1.22125349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34653585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.855042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22125349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.972671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58307 KachelY 29363 -0.34653585 1.22125349 -19.855042 69.972671
    Oben rechts KachelX + 1 58308 KachelY 29363 -0.34648791 1.22125349 -19.852295 69.972671
    Unten links KachelX 58307 KachelY + 1 29364 -0.34653585 1.22123708 -19.855042 69.971730
    Unten rechts KachelX + 1 58308 KachelY + 1 29364 -0.34648791 1.22123708 -19.852295 69.971730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22125349-1.22123708) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22125349-1.22123708) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34653585--0.34648791) × cos(1.22125349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342468324997707 × 6371000     		do = 104.598641588917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34653585--0.34648791) × cos(1.22123708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342483742628638 × 6371000     		du = 104.603350530253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22125349)-sin(1.22123708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342468324997707-0.342483742628638)×R²
    abs(-0.34648791--0.34653585)×1.54176309307141e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54176309307141e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54176309307141e-05×40589641000000     		ar = 10935.8364423986m²