Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58306 / 86462
↖ ↑ ↗
← S 49.720928°
W 19.857788°		 ← 197.42 m → S 49.720928°
W 19.855042°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
S 49.722704°
W 19.857788°		 ← 197.41 m →
38 977 m²		 S 49.722704°
W 19.855042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444843292236328 y=0.659656524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444843292236328 × 217)
    floor (0.444843292236328 × 131072)
    floor (58306.5)     		tx = 58306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659656524658203 × 217)
    floor (0.659656524658203 × 131072)
    floor (86462.5)     		ty = 86462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58306 / 86462 ti = "17/58306/86462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58306/86462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58306 ÷ 217
    58306 ÷ 131072     		x = 0.444839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86462 ÷ 217
    86462 ÷ 131072     		y = 0.659652709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444839477539062 × 2 - 1) × π
    -0.110321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34658378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659652709960938 × 2 - 1) × π
    -0.319305419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0031275614493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34658378} λ = -0.34658378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0031275614493))-π/2
    2×atan(0.366730672971218)-π/2
    2×0.351501213672831-π/2
    0.703002427345662-1.57079632675     		φ = -0.86779390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34658378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.857788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86779390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.720928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58306 KachelY 86462 -0.34658378 -0.86779390 -19.857788 -49.720928
    Oben rechts KachelX + 1 58307 KachelY 86462 -0.34653585 -0.86779390 -19.855042 -49.720928
    Unten links KachelX 58306 KachelY + 1 86463 -0.34658378 -0.86782489 -19.857788 -49.722704
    Unten rechts KachelX + 1 58307 KachelY + 1 86463 -0.34653585 -0.86782489 -19.855042 -49.722704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86779390--0.86782489) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dl = 197.437289999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86779390--0.86782489) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dr = 197.437289999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(-0.86779390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646511162795053 × 6371000     		do = 197.419961088879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(-0.86782489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646487520073336 × 6371000     		du = 197.41274149938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86779390)-sin(-0.86782489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646511162795053-0.646487520073336)×R²
    abs(-0.34653585--0.34658378)×2.36427217171764e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36427217171764e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36427217171764e-05×40589641000000     		ar = 38977.3494041834m²