Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58306 / 29326
↖ ↑ ↗
← N 70.007445°
W 19.857788°		 ← 104.40 m → N 70.007445°
W 19.855042°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
N 70.006506°
W 19.857788°		 ← 104.41 m →
10 902 m²		 N 70.006506°
W 19.855042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444843292236328 y=0.223743438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444843292236328 × 217)
    floor (0.444843292236328 × 131072)
    floor (58306.5)     		tx = 58306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223743438720703 × 217)
    floor (0.223743438720703 × 131072)
    floor (29326.5)     		ty = 29326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58306 / 29326 ti = "17/58306/29326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58306/29326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58306 ÷ 217
    58306 ÷ 131072     		x = 0.444839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29326 ÷ 217
    29326 ÷ 131072     		y = 0.223739624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444839477539062 × 2 - 1) × π
    -0.110321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34658378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223739624023438 × 2 - 1) × π
    0.552520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73579513524223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34658378} λ = -0.34658378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73579513524223))-π/2
    2×atan(5.67343716062414)-π/2
    2×1.39632836913302-π/2
    2.79265673826603-1.57079632675     		φ = 1.22186041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34658378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.857788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22186041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.007445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58306 KachelY 29326 -0.34658378 1.22186041 -19.857788 70.007445
    Oben rechts KachelX + 1 58307 KachelY 29326 -0.34653585 1.22186041 -19.855042 70.007445
    Unten links KachelX 58306 KachelY + 1 29327 -0.34658378 1.22184402 -19.857788 70.006506
    Unten rechts KachelX + 1 58307 KachelY + 1 29327 -0.34653585 1.22184402 -19.855042 70.006506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22186041-1.22184402) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dl = 104.420689999148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22186041-1.22184402) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dr = 104.420689999148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(1.22186041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341898042790051 × 6371000     		do = 104.402680399461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(1.22184402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341913445034423 × 6371000     		du = 104.407383660069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22186041)-sin(1.22184402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341898042790051-0.341913445034423)×R²
    abs(-0.34653585--0.34658378)×1.54022443715762e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54022443715762e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54022443715762e-05×40589641000000     		ar = 10902.0454841901m²