Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58306 / 28356
↖ ↑ ↗
← N 70.898674°
W 19.857788°		 ← 99.93 m → N 70.898674°
W 19.855042°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
N 70.897775°
W 19.857788°		 ← 99.93 m →
9 989 m²		 N 70.897775°
W 19.855042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444843292236328 y=0.216342926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444843292236328 × 217)
    floor (0.444843292236328 × 131072)
    floor (58306.5)     		tx = 58306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216342926025391 × 217)
    floor (0.216342926025391 × 131072)
    floor (28356.5)     		ty = 28356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58306 / 28356 ti = "17/58306/28356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58306/28356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58306 ÷ 217
    58306 ÷ 131072     		x = 0.444839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28356 ÷ 217
    28356 ÷ 131072     		y = 0.216339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444839477539062 × 2 - 1) × π
    -0.110321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34658378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216339111328125 × 2 - 1) × π
    0.56732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78229392787369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34658378} λ = -0.34658378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78229392787369))-π/2
    2×atan(5.94347469521716)-π/2
    2×1.40410580671131-π/2
    2.80821161342262-1.57079632675     		φ = 1.23741529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34658378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.857788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23741529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.898674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58306 KachelY 28356 -0.34658378 1.23741529 -19.857788 70.898674
    Oben rechts KachelX + 1 58307 KachelY 28356 -0.34653585 1.23741529 -19.855042 70.898674
    Unten links KachelX 58306 KachelY + 1 28357 -0.34658378 1.23739960 -19.857788 70.897775
    Unten rechts KachelX + 1 58307 KachelY + 1 28357 -0.34653585 1.23739960 -19.855042 70.897775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23741529-1.23739960) × R
    1.56899999999016e-05 × 6371000     		dl = 99.9609899993732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23741529-1.23739960) × R
    1.56899999999016e-05 × 6371000     		dr = 99.9609899993732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(1.23741529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327239774141217 × 6371000     		do = 99.9266017285648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34658378--0.34653585) × cos(1.23739960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327254600230514 × 6371000     		du = 99.9311290532892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23741529)-sin(1.23739960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327239774141217-0.327254600230514)×R²
    abs(-0.34653585--0.34658378)×1.48260892962604e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48260892962604e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48260892962604e-05×40589641000000     		ar = 9988.98831422239m²