Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58305 / 36032
↖ ↑ ↗
← N 62.674144°
W 19.860535°		 ← 140.21 m → N 62.674144°
W 19.857788°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
N 62.672882°
W 19.860535°		 ← 140.21 m →
19 661 m²		 N 62.672882°
W 19.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444835662841797 y=0.274906158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444835662841797 × 217)
    floor (0.444835662841797 × 131072)
    floor (58305.5)     		tx = 58305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274906158447266 × 217)
    floor (0.274906158447266 × 131072)
    floor (36032.5)     		ty = 36032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58305 / 36032 ti = "17/58305/36032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58305/36032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58305 ÷ 217
    58305 ÷ 131072     		x = 0.444831848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36032 ÷ 217
    36032 ÷ 131072     		y = 0.27490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444831848144531 × 2 - 1) × π
    -0.110336303710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34663172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    0.4501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41433028639014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34663172} λ = -0.34663172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41433028639014))-π/2
    2×atan(4.11373052191181)-π/2
    2×1.3323332420215-π/2
    2.66466648404299-1.57079632675     		φ = 1.09387016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34663172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.860535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09387016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.674144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58305 KachelY 36032 -0.34663172 1.09387016 -19.860535 62.674144
    Oben rechts KachelX + 1 58306 KachelY 36032 -0.34658378 1.09387016 -19.857788 62.674144
    Unten links KachelX 58305 KachelY + 1 36033 -0.34663172 1.09384815 -19.860535 62.672882
    Unten rechts KachelX + 1 58306 KachelY + 1 36033 -0.34658378 1.09384815 -19.857788 62.672882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09387016-1.09384815) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09387016-1.09384815) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34663172--0.34658378) × cos(1.09387016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459050523841437 × 6371000     		do = 140.205845941567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34663172--0.34658378) × cos(1.09384815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459070077637917 × 6371000     		du = 140.211818174326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09387016)-sin(1.09384815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459050523841437-0.459070077637917)×R²
    abs(-0.34658378--0.34663172)×1.95537964805537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95537964805537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95537964805537e-05×40589641000000     		ar = 19660.8830245758m²