Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58301 / 86185
↖ ↑ ↗
← S 49.226566°
W 19.871521°		 ← 199.46 m → S 49.226566°
W 19.868774°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
S 49.228360°
W 19.871521°		 ← 199.46 m →
39 788 m²		 S 49.228360°
W 19.868774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444805145263672 y=0.657543182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444805145263672 × 217)
    floor (0.444805145263672 × 131072)
    floor (58301.5)     		tx = 58301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657543182373047 × 217)
    floor (0.657543182373047 × 131072)
    floor (86185.5)     		ty = 86185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58301 / 86185 ti = "17/58301/86185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58301/86185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58301 ÷ 217
    58301 ÷ 131072     		x = 0.444801330566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86185 ÷ 217
    86185 ÷ 131072     		y = 0.657539367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444801330566406 × 2 - 1) × π
    -0.110397338867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34682347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657539367675781 × 2 - 1) × π
    -0.315078735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.989849040254539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34682347} λ = -0.34682347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989849040254539))-π/2
    2×atan(0.371632788378856)-π/2
    2×0.355815331278831-π/2
    0.711630662557662-1.57079632675     		φ = -0.85916566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34682347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.871521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85916566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.226566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58301 KachelY 86185 -0.34682347 -0.85916566 -19.871521 -49.226566
    Oben rechts KachelX + 1 58302 KachelY 86185 -0.34677553 -0.85916566 -19.868774 -49.226566
    Unten links KachelX 58301 KachelY + 1 86186 -0.34682347 -0.85919697 -19.871521 -49.228360
    Unten rechts KachelX + 1 58302 KachelY + 1 86186 -0.34677553 -0.85919697 -19.868774 -49.228360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85916566--0.85919697) × R
    3.13099999998956e-05 × 6371000     		dl = 199.476009999335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85916566--0.85919697) × R
    3.13099999998956e-05 × 6371000     		dr = 199.476009999335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34682347--0.34677553) × cos(-0.85916566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653069539366191 × 6371000     		do = 199.464247332478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34682347--0.34677553) × cos(-0.85919697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653045828047445 × 6371000     		du = 199.457005285404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85916566)-sin(-0.85919697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653069539366191-0.653045828047445)×R²
    abs(-0.34677553--0.34682347)×2.37113187457894e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37113187457894e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37113187457894e-05×40589641000000     		ar = 39787.6098912307m²