Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58301 / 38563
↖ ↑ ↗
← N 59.306562°
W 19.871521°		 ← 155.90 m → N 59.306562°
W 19.868774°		 →
↑
155.90 m
↓
↑
155.90 m
↓
N 59.305160°
W 19.871521°		 ← 155.91 m →
24 306 m²		 N 59.305160°
W 19.868774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444805145263672 y=0.294216156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444805145263672 × 217)
    floor (0.444805145263672 × 131072)
    floor (58301.5)     		tx = 58301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294216156005859 × 217)
    floor (0.294216156005859 × 131072)
    floor (38563.5)     		ty = 38563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58301 / 38563 ti = "17/58301/38563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58301/38563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58301 ÷ 217
    58301 ÷ 131072     		x = 0.444801330566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38563 ÷ 217
    38563 ÷ 131072     		y = 0.294212341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444801330566406 × 2 - 1) × π
    -0.110397338867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34682347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294212341308594 × 2 - 1) × π
    0.411575317382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.29300199345177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34682347} λ = -0.34682347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29300199345177))-π/2
    2×atan(3.6437085428694)-π/2
    2×1.30294555333174-π/2
    2.60589110666347-1.57079632675     		φ = 1.03509478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34682347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.871521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03509478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.306562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58301 KachelY 38563 -0.34682347 1.03509478 -19.871521 59.306562
    Oben rechts KachelX + 1 58302 KachelY 38563 -0.34677553 1.03509478 -19.868774 59.306562
    Unten links KachelX 58301 KachelY + 1 38564 -0.34682347 1.03507031 -19.871521 59.305160
    Unten rechts KachelX + 1 58302 KachelY + 1 38564 -0.34677553 1.03507031 -19.868774 59.305160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03509478-1.03507031) × R
    2.44700000000542e-05 × 6371000     		dl = 155.898370000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03509478-1.03507031) × R
    2.44700000000542e-05 × 6371000     		dr = 155.898370000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34682347--0.34677553) × cos(1.03509478) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510444432615115 × 6371000     		do = 155.90286856043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34682347--0.34677553) × cos(1.03507031) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510465474478105 × 6371000     		du = 155.909295287005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03509478)-sin(1.03507031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510444432615115-0.510465474478105)×R²
    abs(-0.34677553--0.34682347)×2.10418629899012e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10418629899012e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10418629899012e-05×40589641000000     		ar = 24305.504046247m²