Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58300 / 28548
↖ ↑ ↗
← N 70.725353°
W 19.874268°		 ← 100.82 m → N 70.725353°
W 19.871521°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
N 70.724446°
W 19.874268°		 ← 100.82 m →
10 168 m²		 N 70.724446°
W 19.871521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444797515869141 y=0.217807769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444797515869141 × 217)
    floor (0.444797515869141 × 131072)
    floor (58300.5)     		tx = 58300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217807769775391 × 217)
    floor (0.217807769775391 × 131072)
    floor (28548.5)     		ty = 28548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58300 / 28548 ti = "17/58300/28548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58300/28548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58300 ÷ 217
    58300 ÷ 131072     		x = 0.444793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28548 ÷ 217
    28548 ÷ 131072     		y = 0.217803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.11041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34687141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217803955078125 × 2 - 1) × π
    0.56439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77309004314664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34687141} λ = -0.34687141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77309004314664))-π/2
    2×atan(5.88902260899917)-π/2
    2×1.40259330271978-π/2
    2.80518660543955-1.57079632675     		φ = 1.23439028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34687141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.874268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23439028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.725353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58300 KachelY 28548 -0.34687141 1.23439028 -19.874268 70.725353
    Oben rechts KachelX + 1 58301 KachelY 28548 -0.34682347 1.23439028 -19.871521 70.725353
    Unten links KachelX 58300 KachelY + 1 28549 -0.34687141 1.23437445 -19.874268 70.724446
    Unten rechts KachelX + 1 58301 KachelY + 1 28549 -0.34682347 1.23437445 -19.871521 70.724446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23439028-1.23437445) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dl = 100.852929999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23439028-1.23437445) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dr = 100.852929999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34687141--0.34682347) × cos(1.23439028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330096729542355 × 6371000     		do = 100.820037891988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34687141--0.34682347) × cos(1.23437445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330111672183769 × 6371000     		du = 100.824601759299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23439028)-sin(1.23437445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330096729542355-0.330111672183769)×R²
    abs(-0.34682347--0.34687141)×1.49426414136622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49426414136622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49426414136622e-05×40589641000000     		ar = 10168.2263640357m²