Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5830 / 11846
↖ ↑ ↗
← S 62.329209°
W 51.899414°		 ← 1 134.64 m → S 62.329209°
W 51.877441°		 →
↑
1 134.42 m
↓
↑
1 134.42 m
↓
S 62.339411°
W 51.899414°		 ← 1 134.25 m →
1 286 935 m²		 S 62.339411°
W 51.877441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355865478515625 y=0.723052978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355865478515625 × 214)
    floor (0.355865478515625 × 16384)
    floor (5830.5)     		tx = 5830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723052978515625 × 214)
    floor (0.723052978515625 × 16384)
    floor (11846.5)     		ty = 11846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5830 / 11846 ti = "14/5830/11846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5830/11846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5830 ÷ 214
    5830 ÷ 16384     		x = 0.3558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11846 ÷ 214
    11846 ÷ 16384     		y = 0.7230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.90581566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.446044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40129144969348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90581566} λ = -0.90581566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40129144969348))-π/2
    2×atan(0.246278701922039)-π/2
    2×0.24147320990866-π/2
    0.48294641981732-1.57079632675     		φ = -1.08784991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90581566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08784991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.329209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5830 KachelY 11846 -0.90581566 -1.08784991 -51.899414 -62.329209
    Oben rechts KachelX + 1 5831 KachelY 11846 -0.90543216 -1.08784991 -51.877441 -62.329209
    Unten links KachelX 5830 KachelY + 1 11847 -0.90581566 -1.08802797 -51.899414 -62.339411
    Unten rechts KachelX + 1 5831 KachelY + 1 11847 -0.90543216 -1.08802797 -51.877441 -62.339411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08784991--1.08802797) × R
    0.000178059999999869 × 6371000     		dl = 1134.42025999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08784991--1.08802797) × R
    0.000178059999999869 × 6371000     		dr = 1134.42025999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90581566--0.90543216) × cos(-1.08784991) × R
    0.000383499999999981 × 0.464390624060615 × 6371000     		do = 1134.63562736883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90581566--0.90543216) × cos(-1.08802797) × R
    0.000383499999999981 × 0.464232921336224 × 6371000     		du = 1134.25031569293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08784991)-sin(-1.08802797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464390624060615-0.464232921336224)×R²
    abs(-0.90543216--0.90581566)×0.000157702724390696×R²
    0.000383499999999981×0.000157702724390696×6371000²
    0.000383499999999981×0.000157702724390696×40589641000000     		ar = 1286935.09411832m²