Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58299 / 28546
↖ ↑ ↗
← N 70.727166°
W 19.877014°		 ← 100.79 m → N 70.727166°
W 19.874268°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 70.726260°
W 19.877014°		 ← 100.79 m →
10 159 m²		 N 70.726260°
W 19.874268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444789886474609 y=0.217792510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444789886474609 × 217)
    floor (0.444789886474609 × 131072)
    floor (58299.5)     		tx = 58299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217792510986328 × 217)
    floor (0.217792510986328 × 131072)
    floor (28546.5)     		ty = 28546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58299 / 28546 ti = "17/58299/28546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58299/28546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58299 ÷ 217
    58299 ÷ 131072     		x = 0.444786071777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28546 ÷ 217
    28546 ÷ 131072     		y = 0.217788696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444786071777344 × 2 - 1) × π
    -0.110427856445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34691934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217788696289062 × 2 - 1) × π
    0.564422607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77318591694588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34691934} λ = -0.34691934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77318591694588))-π/2
    2×atan(5.88958723903669)-π/2
    2×1.40260912581762-π/2
    2.80521825163524-1.57079632675     		φ = 1.23442192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34691934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.877014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23442192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.727166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58299 KachelY 28546 -0.34691934 1.23442192 -19.877014 70.727166
    Oben rechts KachelX + 1 58300 KachelY 28546 -0.34687141 1.23442192 -19.874268 70.727166
    Unten links KachelX 58299 KachelY + 1 28547 -0.34691934 1.23440610 -19.877014 70.726260
    Unten rechts KachelX + 1 58300 KachelY + 1 28547 -0.34687141 1.23440610 -19.874268 70.726260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23442192-1.23440610) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23442192-1.23440610) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34691934--0.34687141) × cos(1.23442192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330066862890527 × 6371000     		do = 100.789887288045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34691934--0.34687141) × cos(1.23440610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330081796257746 × 6371000     		du = 100.794447371374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23442192)-sin(1.23440610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330066862890527-0.330081796257746)×R²
    abs(-0.34687141--0.34691934)×1.49333672193608e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49333672193608e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49333672193608e-05×40589641000000     		ar = 10158.7639275677m²