Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58298 / 86618
↖ ↑ ↗
← S 49.997147°
W 19.879761°		 ← 196.34 m → S 49.997147°
W 19.877014°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
S 49.998912°
W 19.879761°		 ← 196.33 m →
38 538 m²		 S 49.998912°
W 19.877014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444782257080078 y=0.660846710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444782257080078 × 217)
    floor (0.444782257080078 × 131072)
    floor (58298.5)     		tx = 58298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660846710205078 × 217)
    floor (0.660846710205078 × 131072)
    floor (86618.5)     		ty = 86618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58298 / 86618 ti = "17/58298/86618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58298/86618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58298 ÷ 217
    58298 ÷ 131072     		x = 0.444778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86618 ÷ 217
    86618 ÷ 131072     		y = 0.660842895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444778442382812 × 2 - 1) × π
    -0.110443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34696728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660842895507812 × 2 - 1) × π
    -0.321685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01060571779002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34696728} λ = -0.34696728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01060571779002))-π/2
    2×atan(0.363998432457531)-π/2
    2×0.349090749802755-π/2
    0.69818149960551-1.57079632675     		φ = -0.87261483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34696728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.879761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87261483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.997147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58298 KachelY 86618 -0.34696728 -0.87261483 -19.879761 -49.997147
    Oben rechts KachelX + 1 58299 KachelY 86618 -0.34691934 -0.87261483 -19.877014 -49.997147
    Unten links KachelX 58298 KachelY + 1 86619 -0.34696728 -0.87264564 -19.879761 -49.998912
    Unten rechts KachelX + 1 58299 KachelY + 1 86619 -0.34691934 -0.87264564 -19.877014 -49.998912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87261483--0.87264564) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dl = 196.290510000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87261483--0.87264564) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dr = 196.290510000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34696728--0.34691934) × cos(-0.87261483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6428257548365 × 6371000     		do = 196.335531861868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34696728--0.34691934) × cos(-0.87264564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642802153688311 × 6371000     		du = 196.328323463718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87261483)-sin(-0.87264564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6428257548365-0.642802153688311)×R²
    abs(-0.34691934--0.34696728)×2.36011481884457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36011481884457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36011481884457e-05×40589641000000     		ar = 38538.0942133243m²