Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58297 / 86186
↖ ↑ ↗
← S 49.228360°
W 19.882508°		 ← 199.46 m → S 49.228360°
W 19.879761°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
S 49.230154°
W 19.882508°		 ← 199.45 m →
39 773 m²		 S 49.230154°
W 19.879761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444774627685547 y=0.657550811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444774627685547 × 217)
    floor (0.444774627685547 × 131072)
    floor (58297.5)     		tx = 58297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657550811767578 × 217)
    floor (0.657550811767578 × 131072)
    floor (86186.5)     		ty = 86186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58297 / 86186 ti = "17/58297/86186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58297/86186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58297 ÷ 217
    58297 ÷ 131072     		x = 0.444770812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86186 ÷ 217
    86186 ÷ 131072     		y = 0.657546997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444770812988281 × 2 - 1) × π
    -0.110458374023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34701522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657546997070312 × 2 - 1) × π
    -0.315093994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.98989697715416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34701522} λ = -0.34701522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98989697715416))-π/2
    2×atan(0.371614973882173)-π/2
    2×0.355799678498553-π/2
    0.711599356997107-1.57079632675     		φ = -0.85919697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34701522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.882508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85919697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.228360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58297 KachelY 86186 -0.34701522 -0.85919697 -19.882508 -49.228360
    Oben rechts KachelX + 1 58298 KachelY 86186 -0.34696728 -0.85919697 -19.879761 -49.228360
    Unten links KachelX 58297 KachelY + 1 86187 -0.34701522 -0.85922827 -19.882508 -49.230154
    Unten rechts KachelX + 1 58298 KachelY + 1 86187 -0.34696728 -0.85922827 -19.879761 -49.230154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85919697--0.85922827) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85919697--0.85922827) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34701522--0.34696728) × cos(-0.85919697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653045828047445 × 6371000     		do = 199.457005285404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34701522--0.34696728) × cos(-0.85922827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653022123661896 × 6371000     		du = 199.449765355906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85919697)-sin(-0.85922827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653045828047445-0.653022123661896)×R²
    abs(-0.34696728--0.34701522)×2.37043855488839e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37043855488839e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37043855488839e-05×40589641000000     		ar = 39773.4583130363m²