Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58297 / 28393
↖ ↑ ↗
← N 70.865391°
W 19.882508°		 ← 100.12 m → N 70.865391°
W 19.879761°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
N 70.864490°
W 19.882508°		 ← 100.12 m →
10 027 m²		 N 70.864490°
W 19.879761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444774627685547 y=0.216625213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444774627685547 × 217)
    floor (0.444774627685547 × 131072)
    floor (58297.5)     		tx = 58297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216625213623047 × 217)
    floor (0.216625213623047 × 131072)
    floor (28393.5)     		ty = 28393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58297 / 28393 ti = "17/58297/28393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58297/28393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58297 ÷ 217
    58297 ÷ 131072     		x = 0.444770812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28393 ÷ 217
    28393 ÷ 131072     		y = 0.216621398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444770812988281 × 2 - 1) × π
    -0.110458374023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34701522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216621398925781 × 2 - 1) × π
    0.566757202148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.78052026258775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34701522} λ = -0.34701522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78052026258775))-π/2
    2×atan(5.93294230370212)-π/2
    2×1.40381535648031-π/2
    2.80763071296062-1.57079632675     		φ = 1.23683439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34701522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.882508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23683439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.865391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58297 KachelY 28393 -0.34701522 1.23683439 -19.882508 70.865391
    Oben rechts KachelX + 1 58298 KachelY 28393 -0.34696728 1.23683439 -19.879761 70.865391
    Unten links KachelX 58297 KachelY + 1 28394 -0.34701522 1.23681867 -19.882508 70.864490
    Unten rechts KachelX + 1 58298 KachelY + 1 28394 -0.34696728 1.23681867 -19.879761 70.864490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23683439-1.23681867) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dl = 100.152120001041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23683439-1.23681867) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dr = 100.152120001041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34701522--0.34696728) × cos(1.23683439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327788635320282 × 6371000     		do = 100.115086506338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34701522--0.34696728) × cos(1.23681867) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.32780348676682 × 6371000     		du = 100.119622520386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23683439)-sin(1.23681867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327788635320282-0.32780348676682)×R²
    abs(-0.34696728--0.34701522)×1.48514465374006e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48514465374006e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48514465374006e-05×40589641000000     		ar = 10026.9653036225m²