Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58295 / 37997
↖ ↑ ↗
← N 60.090872°
W 19.888000°		 ← 152.29 m → N 60.090872°
W 19.885254°		 →
↑
152.27 m
↓
↑
152.27 m
↓
N 60.089502°
W 19.888000°		 ← 152.30 m →
23 190 m²		 N 60.089502°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444759368896484 y=0.289897918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444759368896484 × 217)
    floor (0.444759368896484 × 131072)
    floor (58295.5)     		tx = 58295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289897918701172 × 217)
    floor (0.289897918701172 × 131072)
    floor (37997.5)     		ty = 37997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58295 / 37997 ti = "17/58295/37997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58295/37997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58295 ÷ 217
    58295 ÷ 131072     		x = 0.444755554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37997 ÷ 217
    37997 ÷ 131072     		y = 0.289894104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444755554199219 × 2 - 1) × π
    -0.110488891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34711109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289894104003906 × 2 - 1) × π
    0.420211791992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.32013427863673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34711109} λ = -0.34711109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32013427863673))-π/2
    2×atan(3.74392407252996)-π/2
    2×1.30978994288217-π/2
    2.61957988576434-1.57079632675     		φ = 1.04878356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34711109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.888000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04878356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.090872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58295 KachelY 37997 -0.34711109 1.04878356 -19.888000 60.090872
    Oben rechts KachelX + 1 58296 KachelY 37997 -0.34706315 1.04878356 -19.885254 60.090872
    Unten links KachelX 58295 KachelY + 1 37998 -0.34711109 1.04875966 -19.888000 60.089502
    Unten rechts KachelX + 1 58296 KachelY + 1 37998 -0.34706315 1.04875966 -19.885254 60.089502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04878356-1.04875966) × R
    2.38999999999656e-05 × 6371000     		dl = 152.266899999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04878356-1.04875966) × R
    2.38999999999656e-05 × 6371000     		dr = 152.266899999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34711109--0.34706315) × cos(1.04878356) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.498625847805611 × 6371000     		do = 152.293168549233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34711109--0.34706315) × cos(1.04875966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.498646564597115 × 6371000     		du = 152.299495990608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04878356)-sin(1.04875966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498625847805611-0.498646564597115)×R²
    abs(-0.34706315--0.34711109)×2.07167915035611e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07167915035611e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07167915035611e-05×40589641000000     		ar = 23189.6903972508m²