Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58294 / 28388
↖ ↑ ↗
← N 70.869891°
W 19.890747°		 ← 100.09 m → N 70.869891°
W 19.888000°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 70.868991°
W 19.890747°		 ← 100.10 m →
10 018 m²		 N 70.868991°
W 19.888000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444751739501953 y=0.216587066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444751739501953 × 217)
    floor (0.444751739501953 × 131072)
    floor (58294.5)     		tx = 58294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216587066650391 × 217)
    floor (0.216587066650391 × 131072)
    floor (28388.5)     		ty = 28388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58294 / 28388 ti = "17/58294/28388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58294/28388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58294 ÷ 217
    58294 ÷ 131072     		x = 0.444747924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28388 ÷ 217
    28388 ÷ 131072     		y = 0.216583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444747924804688 × 2 - 1) × π
    -0.110504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34715903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216583251953125 × 2 - 1) × π
    0.56683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78075994708585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34715903} λ = -0.34715903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78075994708585))-π/2
    2×atan(5.93436450843385)-π/2
    2×1.40385463496065-π/2
    2.8077092699213-1.57079632675     		φ = 1.23691294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34715903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.890747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23691294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.869891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58294 KachelY 28388 -0.34715903 1.23691294 -19.890747 70.869891
    Oben rechts KachelX + 1 58295 KachelY 28388 -0.34711109 1.23691294 -19.888000 70.869891
    Unten links KachelX 58294 KachelY + 1 28389 -0.34715903 1.23689723 -19.890747 70.868991
    Unten rechts KachelX + 1 58295 KachelY + 1 28389 -0.34711109 1.23689723 -19.888000 70.868991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23691294-1.23689723) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23691294-1.23689723) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34715903--0.34711109) × cos(1.23691294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327714424111472 × 6371000     		do = 100.092420492855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34715903--0.34711109) × cos(1.23689723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327729266515012 × 6371000     		du = 100.096953744939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23691294)-sin(1.23689723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327714424111472-0.327729266515012)×R²
    abs(-0.34711109--0.34715903)×1.48424035391614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48424035391614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48424035391614e-05×40589641000000     		ar = 10018.3180833436m²