Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58293 / 38573
↖ ↑ ↗
← N 59.292540°
W 19.893493°		 ← 155.93 m → N 59.292540°
W 19.890747°		 →
↑
155.96 m
↓
↑
155.96 m
↓
N 59.291137°
W 19.893493°		 ← 155.94 m →
24 320 m²		 N 59.291137°
W 19.890747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444744110107422 y=0.294292449951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444744110107422 × 217)
    floor (0.444744110107422 × 131072)
    floor (58293.5)     		tx = 58293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294292449951172 × 217)
    floor (0.294292449951172 × 131072)
    floor (38573.5)     		ty = 38573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58293 / 38573 ti = "17/58293/38573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58293/38573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58293 ÷ 217
    58293 ÷ 131072     		x = 0.444740295410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38573 ÷ 217
    38573 ÷ 131072     		y = 0.294288635253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444740295410156 × 2 - 1) × π
    -0.110519409179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34720696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294288635253906 × 2 - 1) × π
    0.411422729492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.29252262445557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34720696} λ = -0.34720696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29252262445557))-π/2
    2×atan(3.6419622805482)-π/2
    2×1.30282318249551-π/2
    2.60564636499101-1.57079632675     		φ = 1.03485004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34720696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.893493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03485004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.292540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58293 KachelY 38573 -0.34720696 1.03485004 -19.893493 59.292540
    Oben rechts KachelX + 1 58294 KachelY 38573 -0.34715903 1.03485004 -19.890747 59.292540
    Unten links KachelX 58293 KachelY + 1 38574 -0.34720696 1.03482556 -19.893493 59.291137
    Unten rechts KachelX + 1 58294 KachelY + 1 38574 -0.34715903 1.03482556 -19.890747 59.291137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03485004-1.03482556) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dl = 155.962079999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03485004-1.03482556) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dr = 155.962079999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34720696--0.34715903) × cos(1.03485004) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.51065487188037 × 6371000     		do = 155.934608306875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34720696--0.34715903) × cos(1.03482556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.510675919283456 × 6371000     		du = 155.941035384608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03485004)-sin(1.03482556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51065487188037-0.510675919283456)×R²
    abs(-0.34715903--0.34720696)×2.10474030861718e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10474030861718e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10474030861718e-05×40589641000000     		ar = 24320.3870470225m²