Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58293 / 28389
↖ ↑ ↗
← N 70.868991°
W 19.893493°		 ← 100.08 m → N 70.868991°
W 19.890747°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 70.868091°
W 19.893493°		 ← 100.08 m →
10 017 m²		 N 70.868091°
W 19.890747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444744110107422 y=0.216594696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444744110107422 × 217)
    floor (0.444744110107422 × 131072)
    floor (58293.5)     		tx = 58293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216594696044922 × 217)
    floor (0.216594696044922 × 131072)
    floor (28389.5)     		ty = 28389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58293 / 28389 ti = "17/58293/28389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58293/28389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58293 ÷ 217
    58293 ÷ 131072     		x = 0.444740295410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28389 ÷ 217
    28389 ÷ 131072     		y = 0.216590881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444740295410156 × 2 - 1) × π
    -0.110519409179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34720696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216590881347656 × 2 - 1) × π
    0.566818237304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.78071201018623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34720696} λ = -0.34720696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78071201018623))-π/2
    2×atan(5.93408004021642)-π/2
    2×1.40384677997612-π/2
    2.80769355995225-1.57079632675     		φ = 1.23689723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34720696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.893493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23689723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.868991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58293 KachelY 28389 -0.34720696 1.23689723 -19.893493 70.868991
    Oben rechts KachelX + 1 58294 KachelY 28389 -0.34715903 1.23689723 -19.890747 70.868991
    Unten links KachelX 58293 KachelY + 1 28390 -0.34720696 1.23688152 -19.893493 70.868091
    Unten rechts KachelX + 1 58294 KachelY + 1 28390 -0.34715903 1.23688152 -19.890747 70.868091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23689723-1.23688152) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23689723-1.23688152) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34720696--0.34715903) × cos(1.23689723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327729266515012 × 6371000     		do = 100.076074113496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34720696--0.34715903) × cos(1.23688152) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327744108837666 × 6371000     		du = 100.080606395272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23689723)-sin(1.23688152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327729266515012-0.327744108837666)×R²
    abs(-0.34715903--0.34720696)×1.4842322654196e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4842322654196e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4842322654196e-05×40589641000000     		ar = 10016.6819515809m²