Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58292 / 36057
↖ ↑ ↗
← N 62.642606°
W 19.896240°		 ← 140.36 m → N 62.642606°
W 19.893493°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
N 62.641344°
W 19.896240°		 ← 140.36 m →
19 700 m²		 N 62.641344°
W 19.893493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444736480712891 y=0.275096893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444736480712891 × 217)
    floor (0.444736480712891 × 131072)
    floor (58292.5)     		tx = 58292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275096893310547 × 217)
    floor (0.275096893310547 × 131072)
    floor (36057.5)     		ty = 36057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58292 / 36057 ti = "17/58292/36057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58292/36057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58292 ÷ 217
    58292 ÷ 131072     		x = 0.444732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36057 ÷ 217
    36057 ÷ 131072     		y = 0.275093078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.11053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34725490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275093078613281 × 2 - 1) × π
    0.449813842773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.41313186389964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34725490} λ = -0.34725490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41313186389964))-π/2
    2×atan(4.10880348765851)-π/2
    2×1.33205802731462-π/2
    2.66411605462924-1.57079632675     		φ = 1.09331973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34725490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.896240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09331973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.642606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58292 KachelY 36057 -0.34725490 1.09331973 -19.896240 62.642606
    Oben rechts KachelX + 1 58293 KachelY 36057 -0.34720696 1.09331973 -19.893493 62.642606
    Unten links KachelX 58292 KachelY + 1 36058 -0.34725490 1.09329770 -19.896240 62.641344
    Unten rechts KachelX + 1 58293 KachelY + 1 36058 -0.34720696 1.09329770 -19.893493 62.641344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09331973-1.09329770) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09331973-1.09329770) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34725490--0.34720696) × cos(1.09331973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459539461882407 × 6371000     		do = 140.355180204544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34725490--0.34720696) × cos(1.09329770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459559027877371 × 6371000     		du = 140.361156163035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09331973)-sin(1.09329770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459539461882407-0.459559027877371)×R²
    abs(-0.34720696--0.34725490)×1.95659949641103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95659949641103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95659949641103e-05×40589641000000     		ar = 19699.7082264268m²