Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58291 / 86645
↖ ↑ ↗
← S 50.044793°
W 19.898987°		 ← 196.14 m → S 50.044793°
W 19.896240°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
S 50.046558°
W 19.898987°		 ← 196.13 m →
38 475 m²		 S 50.046558°
W 19.896240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444728851318359 y=0.661052703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444728851318359 × 217)
    floor (0.444728851318359 × 131072)
    floor (58291.5)     		tx = 58291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661052703857422 × 217)
    floor (0.661052703857422 × 131072)
    floor (86645.5)     		ty = 86645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58291 / 86645 ti = "17/58291/86645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58291/86645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58291 ÷ 217
    58291 ÷ 131072     		x = 0.444725036621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86645 ÷ 217
    86645 ÷ 131072     		y = 0.661048889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444725036621094 × 2 - 1) × π
    -0.110549926757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34730284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661048889160156 × 2 - 1) × π
    -0.322097778320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.01190001407977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34730284} λ = -0.34730284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01190001407977))-π/2
    2×atan(0.363527615391047)-π/2
    2×0.348674952509163-π/2
    0.697349905018327-1.57079632675     		φ = -0.87344642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34730284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.898987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87344642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.044793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58291 KachelY 86645 -0.34730284 -0.87344642 -19.898987 -50.044793
    Oben rechts KachelX + 1 58292 KachelY 86645 -0.34725490 -0.87344642 -19.896240 -50.044793
    Unten links KachelX 58291 KachelY + 1 86646 -0.34730284 -0.87347721 -19.898987 -50.046558
    Unten rechts KachelX + 1 58292 KachelY + 1 86646 -0.34725490 -0.87347721 -19.896240 -50.046558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87344642--0.87347721) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dl = 196.163090000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87344642--0.87347721) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dr = 196.163090000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34730284--0.34725490) × cos(-0.87344642) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642188524359528 × 6371000     		do = 196.140905272115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34730284--0.34725490) × cos(-0.87347721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642164922081111 × 6371000     		du = 196.133696528764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87344642)-sin(-0.87347721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642188524359528-0.642164922081111)×R²
    abs(-0.34725490--0.34730284)×2.36022784170231e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36022784170231e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36022784170231e-05×40589641000000     		ar = 38474.899012071m²