Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58290 / 86614
↖ ↑ ↗
← S 49.990084°
W 19.901733°		 ← 196.32 m → S 49.990084°
W 19.898987°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
S 49.991850°
W 19.901733°		 ← 196.32 m →
38 548 m²		 S 49.991850°
W 19.898987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444721221923828 y=0.660816192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444721221923828 × 217)
    floor (0.444721221923828 × 131072)
    floor (58290.5)     		tx = 58290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660816192626953 × 217)
    floor (0.660816192626953 × 131072)
    floor (86614.5)     		ty = 86614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58290 / 86614 ti = "17/58290/86614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58290/86614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58290 ÷ 217
    58290 ÷ 131072     		x = 0.444717407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86614 ÷ 217
    86614 ÷ 131072     		y = 0.660812377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444717407226562 × 2 - 1) × π
    -0.110565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34735077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660812377929688 × 2 - 1) × π
    -0.321624755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01041397019154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34735077} λ = -0.34735077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01041397019154))-π/2
    2×atan(0.364068234974824)-π/2
    2×0.349152384476543-π/2
    0.698304768953086-1.57079632675     		φ = -0.87249156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34735077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.901733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87249156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.990084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58290 KachelY 86614 -0.34735077 -0.87249156 -19.901733 -49.990084
    Oben rechts KachelX + 1 58291 KachelY 86614 -0.34730284 -0.87249156 -19.898987 -49.990084
    Unten links KachelX 58290 KachelY + 1 86615 -0.34735077 -0.87252238 -19.901733 -49.991850
    Unten rechts KachelX + 1 58291 KachelY + 1 86615 -0.34730284 -0.87252238 -19.898987 -49.991850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87249156--0.87252238) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dl = 196.354219999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87249156--0.87252238) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dr = 196.354219999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34735077--0.34730284) × cos(-0.87249156) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.642920176304963 × 6371000     		do = 196.323410164334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34735077--0.34730284) × cos(-0.87252238) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.642896569938798 × 6371000     		du = 196.316201676441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87249156)-sin(-0.87252238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642920176304963-0.642896569938798)×R²
    abs(-0.34730284--0.34735077)×2.3606366164719e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3606366164719e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3606366164719e-05×40589641000000     		ar = 38548.2223650104m²