Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58289 / 86642
↖ ↑ ↗
← S 50.039502°
W 19.904480°		 ← 196.16 m → S 50.039502°
W 19.901733°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
S 50.041266°
W 19.904480°		 ← 196.16 m →
38 479 m²		 S 50.041266°
W 19.901733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444713592529297 y=0.661029815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444713592529297 × 217)
    floor (0.444713592529297 × 131072)
    floor (58289.5)     		tx = 58289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661029815673828 × 217)
    floor (0.661029815673828 × 131072)
    floor (86642.5)     		ty = 86642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58289 / 86642 ti = "17/58289/86642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58289/86642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58289 ÷ 217
    58289 ÷ 131072     		x = 0.444709777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86642 ÷ 217
    86642 ÷ 131072     		y = 0.661026000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444709777832031 × 2 - 1) × π
    -0.110580444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34739871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661026000976562 × 2 - 1) × π
    -0.322052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01175620338091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34739871} λ = -0.34739871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01175620338091))-π/2
    2×atan(0.363579898310803)-π/2
    2×0.348721131844547-π/2
    0.697442263689095-1.57079632675     		φ = -0.87335406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34739871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.904480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87335406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.039502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58289 KachelY 86642 -0.34739871 -0.87335406 -19.904480 -50.039502
    Oben rechts KachelX + 1 58290 KachelY 86642 -0.34735077 -0.87335406 -19.901733 -50.039502
    Unten links KachelX 58289 KachelY + 1 86643 -0.34739871 -0.87338485 -19.904480 -50.041266
    Unten rechts KachelX + 1 58290 KachelY + 1 86643 -0.34735077 -0.87338485 -19.901733 -50.041266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87335406--0.87338485) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dl = 196.163089999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87335406--0.87338485) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dr = 196.163089999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34739871--0.34735077) × cos(-0.87335406) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642259319876955 × 6371000     		do = 196.162528045414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34739871--0.34735077) × cos(-0.87338485) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642235719424838 × 6371000     		du = 196.155319859862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87335406)-sin(-0.87338485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642259319876955-0.642235719424838)×R²
    abs(-0.34735077--0.34739871)×2.3600452117134e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3600452117134e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3600452117134e-05×40589641000000     		ar = 38479.1406565955m²