Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58289 / 28272
↖ ↑ ↗
← N 70.974028°
W 19.904480°		 ← 99.57 m → N 70.974028°
W 19.901733°		 →
↑
99.58 m
↓
↑
99.58 m
↓
N 70.973133°
W 19.904480°		 ← 99.57 m →
9 915 m²		 N 70.973133°
W 19.901733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444713592529297 y=0.215702056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444713592529297 × 217)
    floor (0.444713592529297 × 131072)
    floor (58289.5)     		tx = 58289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215702056884766 × 217)
    floor (0.215702056884766 × 131072)
    floor (28272.5)     		ty = 28272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58289 / 28272 ti = "17/58289/28272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58289/28272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58289 ÷ 217
    58289 ÷ 131072     		x = 0.444709777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28272 ÷ 217
    28272 ÷ 131072     		y = 0.2156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444709777832031 × 2 - 1) × π
    -0.110580444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34739871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2156982421875 × 2 - 1) × π
    0.568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78632062744177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34739871} λ = -0.34739871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78632062744177))-π/2
    2×atan(5.96745553161438)-π/2
    2×1.40476340278797-π/2
    2.80952680557594-1.57079632675     		φ = 1.23873048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34739871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.904480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23873048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.974028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58289 KachelY 28272 -0.34739871 1.23873048 -19.904480 70.974028
    Oben rechts KachelX + 1 58290 KachelY 28272 -0.34735077 1.23873048 -19.901733 70.974028
    Unten links KachelX 58289 KachelY + 1 28273 -0.34739871 1.23871485 -19.904480 70.973133
    Unten rechts KachelX + 1 58290 KachelY + 1 28273 -0.34735077 1.23871485 -19.901733 70.973133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23873048-1.23871485) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dl = 99.5787300002817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23873048-1.23871485) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dr = 99.5787300002817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34739871--0.34735077) × cos(1.23873048) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325996714085265 × 6371000     		do = 99.5677876371106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34739871--0.34735077) × cos(1.23871485) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326011490192644 × 6371000     		du = 99.5723006406409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23873048)-sin(1.23871485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325996714085265-0.326011490192644)×R²
    abs(-0.34735077--0.34739871)×1.47761073782116e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47761073782116e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47761073782116e-05×40589641000000     		ar = 9915.05854158775m²