Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58289 / 28271
↖ ↑ ↗
← N 70.974924°
W 19.904480°		 ← 99.56 m → N 70.974924°
W 19.901733°		 →
↑
99.58 m
↓
↑
99.58 m
↓
N 70.974028°
W 19.904480°		 ← 99.57 m →
9 915 m²		 N 70.974028°
W 19.901733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444713592529297 y=0.215694427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444713592529297 × 217)
    floor (0.444713592529297 × 131072)
    floor (58289.5)     		tx = 58289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215694427490234 × 217)
    floor (0.215694427490234 × 131072)
    floor (28271.5)     		ty = 28271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58289 / 28271 ti = "17/58289/28271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58289/28271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58289 ÷ 217
    58289 ÷ 131072     		x = 0.444709777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28271 ÷ 217
    28271 ÷ 131072     		y = 0.215690612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444709777832031 × 2 - 1) × π
    -0.110580444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34739871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215690612792969 × 2 - 1) × π
    0.568618774414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.78636856434139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34739871} λ = -0.34739871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78636856434139))-π/2
    2×atan(5.96774159978774)-π/2
    2×1.40477121624683-π/2
    2.80954243249366-1.57079632675     		φ = 1.23874611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34739871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.904480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23874611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.974924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58289 KachelY 28271 -0.34739871 1.23874611 -19.904480 70.974924
    Oben rechts KachelX + 1 58290 KachelY 28271 -0.34735077 1.23874611 -19.901733 70.974924
    Unten links KachelX 58289 KachelY + 1 28272 -0.34739871 1.23873048 -19.904480 70.974028
    Unten rechts KachelX + 1 58290 KachelY + 1 28272 -0.34735077 1.23873048 -19.901733 70.974028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23874611-1.23873048) × R
    1.56299999998222e-05 × 6371000     		dl = 99.5787299988671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23874611-1.23873048) × R
    1.56299999998222e-05 × 6371000     		dr = 99.5787299988671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34739871--0.34735077) × cos(1.23874611) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325981937898247 × 6371000     		do = 99.5632746092562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34739871--0.34735077) × cos(1.23873048) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325996714085265 × 6371000     		du = 99.5677876371106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23874611)-sin(1.23873048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325981937898247-0.325996714085265)×R²
    abs(-0.34735077--0.34739871)×1.47761870179508e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47761870179508e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47761870179508e-05×40589641000000     		ar = 9914.60914106601m²