Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58288 / 86256
↖ ↑ ↗
← S 49.353756°
W 19.907227°		 ← 198.95 m → S 49.353756°
W 19.904480°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
S 49.355545°
W 19.907227°		 ← 198.94 m →
39 571 m²		 S 49.355545°
W 19.904480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444705963134766 y=0.658084869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444705963134766 × 217)
    floor (0.444705963134766 × 131072)
    floor (58288.5)     		tx = 58288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658084869384766 × 217)
    floor (0.658084869384766 × 131072)
    floor (86256.5)     		ty = 86256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58288 / 86256 ti = "17/58288/86256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58288/86256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58288 ÷ 217
    58288 ÷ 131072     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86256 ÷ 217
    86256 ÷ 131072     		y = 0.6580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.993252560127563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993252560127563))-π/2
    2×atan(0.370370078845567)-π/2
    2×0.354705395651951-π/2
    0.709410791303902-1.57079632675     		φ = -0.86138554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86138554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.353756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58288 KachelY 86256 -0.34744665 -0.86138554 -19.907227 -49.353756
    Oben rechts KachelX + 1 58289 KachelY 86256 -0.34739871 -0.86138554 -19.904480 -49.353756
    Unten links KachelX 58288 KachelY + 1 86257 -0.34744665 -0.86141676 -19.907227 -49.355545
    Unten rechts KachelX + 1 58289 KachelY + 1 86257 -0.34739871 -0.86141676 -19.904480 -49.355545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86138554--0.86141676) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dl = 198.90261999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86138554--0.86141676) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dr = 198.90261999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34739871) × cos(-0.86138554) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651386821066532 × 6371000     		do = 198.950301850593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34739871) × cos(-0.86141676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651363132704792 × 6371000     		du = 198.943066815179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86138554)-sin(-0.86141676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651386821066532-0.651363132704792)×R²
    abs(-0.34739871--0.34744665)×2.36883617399375e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36883617399375e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36883617399375e-05×40589641000000     		ar = 39571.0167572338m²