Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58288 / 85360
↖ ↑ ↗
← S 47.724545°
W 19.907227°		 ← 205.46 m → S 47.724545°
W 19.904480°		 →
↑
205.40 m
↓
↑
205.40 m
↓
S 47.726392°
W 19.907227°		 ← 205.45 m →
42 201 m²		 S 47.726392°
W 19.904480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444705963134766 y=0.651248931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444705963134766 × 217)
    floor (0.444705963134766 × 131072)
    floor (58288.5)     		tx = 58288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651248931884766 × 217)
    floor (0.651248931884766 × 131072)
    floor (85360.5)     		ty = 85360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58288 / 85360 ti = "17/58288/85360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58288/85360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58288 ÷ 217
    58288 ÷ 131072     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85360 ÷ 217
    85360 ÷ 131072     		y = 0.6512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.950301098067993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950301098067993))-π/2
    2×atan(0.386624594008746)-π/2
    2×0.368922945208333-π/2
    0.737845890416666-1.57079632675     		φ = -0.83295044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83295044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.724545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58288 KachelY 85360 -0.34744665 -0.83295044 -19.907227 -47.724545
    Oben rechts KachelX + 1 58289 KachelY 85360 -0.34739871 -0.83295044 -19.904480 -47.724545
    Unten links KachelX 58288 KachelY + 1 85361 -0.34744665 -0.83298268 -19.907227 -47.726392
    Unten rechts KachelX + 1 58289 KachelY + 1 85361 -0.34739871 -0.83298268 -19.904480 -47.726392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83295044--0.83298268) × R
    3.22400000000167e-05 × 6371000     		dl = 205.401040000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83295044--0.83298268) × R
    3.22400000000167e-05 × 6371000     		dr = 205.401040000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34739871) × cos(-0.83295044) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.672695603568435 × 6371000     		do = 205.458552514739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34739871) × cos(-0.83298268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.672671748219416 × 6371000     		du = 205.451266477112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83295044)-sin(-0.83298268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672695603568435-0.672671748219416)×R²
    abs(-0.34739871--0.34744665)×2.3855349019497e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3855349019497e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3855349019497e-05×40589641000000     		ar = 42200.6520872356m²