Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58287 / 85361
↖ ↑ ↗
← S 47.726392°
W 19.909973°		 ← 205.45 m → S 47.726392°
W 19.907227°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
S 47.728240°
W 19.909973°		 ← 205.44 m →
42 212 m²		 S 47.728240°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444698333740234 y=0.651256561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444698333740234 × 217)
    floor (0.444698333740234 × 131072)
    floor (58287.5)     		tx = 58287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651256561279297 × 217)
    floor (0.651256561279297 × 131072)
    floor (85361.5)     		ty = 85361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58287 / 85361 ti = "17/58287/85361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58287/85361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58287 ÷ 217
    58287 ÷ 131072     		x = 0.444694519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85361 ÷ 217
    85361 ÷ 131072     		y = 0.651252746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444694519042969 × 2 - 1) × π
    -0.110610961914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34749459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651252746582031 × 2 - 1) × π
    -0.302505493164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.950349034967613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34749459} λ = -0.34749459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950349034967613))-π/2
    2×atan(0.386606060868606)-π/2
    2×0.368906822023402-π/2
    0.737813644046804-1.57079632675     		φ = -0.83298268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34749459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.909973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83298268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.726392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58287 KachelY 85361 -0.34749459 -0.83298268 -19.909973 -47.726392
    Oben rechts KachelX + 1 58288 KachelY 85361 -0.34744665 -0.83298268 -19.907227 -47.726392
    Unten links KachelX 58287 KachelY + 1 85362 -0.34749459 -0.83301493 -19.909973 -47.728240
    Unten rechts KachelX + 1 58288 KachelY + 1 85362 -0.34744665 -0.83301493 -19.907227 -47.728240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83298268--0.83301493) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dl = 205.464750000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83298268--0.83301493) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dr = 205.464750000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34749459--0.34744665) × cos(-0.83298268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672671748219416 × 6371000     		do = 205.451266476874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34749459--0.34744665) × cos(-0.83301493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672647884771582 × 6371000     		du = 205.443977965661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83298268)-sin(-0.83301493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672671748219416-0.672647884771582)×R²
    abs(-0.34744665--0.34749459)×2.38634478334498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38634478334498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38634478334498e-05×40589641000000     		ar = 42212.2443416547m²