Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58286 / 86167
↖ ↑ ↗
← S 49.194269°
W 19.912720°		 ← 199.55 m → S 49.194269°
W 19.909973°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
S 49.196064°
W 19.912720°		 ← 199.55 m →
39 831 m²		 S 49.196064°
W 19.909973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444690704345703 y=0.657405853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444690704345703 × 217)
    floor (0.444690704345703 × 131072)
    floor (58286.5)     		tx = 58286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657405853271484 × 217)
    floor (0.657405853271484 × 131072)
    floor (86167.5)     		ty = 86167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58286 / 86167 ti = "17/58286/86167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58286/86167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58286 ÷ 217
    58286 ÷ 131072     		x = 0.444686889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86167 ÷ 217
    86167 ÷ 131072     		y = 0.657402038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444686889648438 × 2 - 1) × π
    -0.110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34754252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657402038574219 × 2 - 1) × π
    -0.314804077148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.988986176061379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34754252} λ = -0.34754252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988986176061379))-π/2
    2×atan(0.371953595391491)-π/2
    2×0.356097178498949-π/2
    0.712194356997898-1.57079632675     		φ = -0.85860197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34754252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.912720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85860197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.194269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58286 KachelY 86167 -0.34754252 -0.85860197 -19.912720 -49.194269
    Oben rechts KachelX + 1 58287 KachelY 86167 -0.34749459 -0.85860197 -19.909973 -49.194269
    Unten links KachelX 58286 KachelY + 1 86168 -0.34754252 -0.85863330 -19.912720 -49.196064
    Unten rechts KachelX + 1 58287 KachelY + 1 86168 -0.34749459 -0.85863330 -19.909973 -49.196064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85860197--0.85863330) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85860197--0.85863330) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34754252--0.34749459) × cos(-0.85860197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653496316866672 × 6371000     		do = 199.552961916052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34754252--0.34749459) × cos(-0.85863330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653472601938592 × 6371000     		du = 199.545720277473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85860197)-sin(-0.85863330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653496316866672-0.653472601938592)×R²
    abs(-0.34749459--0.34754252)×2.37149280801763e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37149280801763e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37149280801763e-05×40589641000000     		ar = 39830.732940396m²