Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58285 / 86637
↖ ↑ ↗
← S 50.030681°
W 19.915466°		 ← 196.20 m → S 50.030681°
W 19.912720°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
S 50.032445°
W 19.915466°		 ← 196.19 m →
38 486 m²		 S 50.032445°
W 19.912720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444683074951172 y=0.660991668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444683074951172 × 217)
    floor (0.444683074951172 × 131072)
    floor (58285.5)     		tx = 58285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660991668701172 × 217)
    floor (0.660991668701172 × 131072)
    floor (86637.5)     		ty = 86637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58285 / 86637 ti = "17/58285/86637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58285/86637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58285 ÷ 217
    58285 ÷ 131072     		x = 0.444679260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86637 ÷ 217
    86637 ÷ 131072     		y = 0.660987854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444679260253906 × 2 - 1) × π
    -0.110641479492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34759046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660987854003906 × 2 - 1) × π
    -0.321975708007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.0115165188828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34759046} λ = -0.34759046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0115165188828))-π/2
    2×atan(0.363667053220672)-π/2
    2×0.348798108716018-π/2
    0.697596217432036-1.57079632675     		φ = -0.87320011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34759046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.915466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87320011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.030681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58285 KachelY 86637 -0.34759046 -0.87320011 -19.915466 -50.030681
    Oben rechts KachelX + 1 58286 KachelY 86637 -0.34754252 -0.87320011 -19.912720 -50.030681
    Unten links KachelX 58285 KachelY + 1 86638 -0.34759046 -0.87323090 -19.915466 -50.032445
    Unten rechts KachelX + 1 58286 KachelY + 1 86638 -0.34754252 -0.87323090 -19.912720 -50.032445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87320011--0.87323090) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dl = 196.163090000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87320011--0.87323090) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dr = 196.163090000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34759046--0.34754252) × cos(-0.87320011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642377313003933 × 6371000     		do = 196.198566183309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34759046--0.34754252) × cos(-0.87323090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642353715596426 × 6371000     		du = 196.191358927659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87320011)-sin(-0.87323090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642377313003933-0.642353715596426)×R²
    abs(-0.34754252--0.34759046)×2.35974075069034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35974075069034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35974075069034e-05×40589641000000     		ar = 38486.2101003856m²