Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58284 / 38004
↖ ↑ ↗
← N 60.081284°
W 19.918213°		 ← 152.34 m → N 60.081284°
W 19.915466°		 →
↑
152.33 m
↓
↑
152.33 m
↓
N 60.079914°
W 19.918213°		 ← 152.34 m →
23 206 m²		 N 60.079914°
W 19.915466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444675445556641 y=0.289951324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444675445556641 × 217)
    floor (0.444675445556641 × 131072)
    floor (58284.5)     		tx = 58284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289951324462891 × 217)
    floor (0.289951324462891 × 131072)
    floor (38004.5)     		ty = 38004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58284 / 38004 ti = "17/58284/38004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58284/38004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58284 ÷ 217
    58284 ÷ 131072     		x = 0.444671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38004 ÷ 217
    38004 ÷ 131072     		y = 0.289947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.11065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34763840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289947509765625 × 2 - 1) × π
    0.42010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31979872033939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34763840} λ = -0.34763840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31979872033939))-π/2
    2×atan(3.74266797850098)-π/2
    2×1.30970627169413-π/2
    2.61941254338825-1.57079632675     		φ = 1.04861622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34763840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.918213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04861622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.081284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58284 KachelY 38004 -0.34763840 1.04861622 -19.918213 60.081284
    Oben rechts KachelX + 1 58285 KachelY 38004 -0.34759046 1.04861622 -19.915466 60.081284
    Unten links KachelX 58284 KachelY + 1 38005 -0.34763840 1.04859231 -19.918213 60.079914
    Unten rechts KachelX + 1 58285 KachelY + 1 38005 -0.34759046 1.04859231 -19.915466 60.079914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04861622-1.04859231) × R
    2.39099999999048e-05 × 6371000     		dl = 152.330609999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04861622-1.04859231) × R
    2.39099999999048e-05 × 6371000     		dr = 152.330609999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34763840--0.34759046) × cos(1.04861622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.498770894033607 × 6371000     		do = 152.337469400752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34763840--0.34759046) × cos(1.04859231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.498791617497781 × 6371000     		du = 152.343798880133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04861622)-sin(1.04859231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498770894033607-0.498791617497781)×R²
    abs(-0.34759046--0.34763840)×2.07234641742549e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07234641742549e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07234641742549e-05×40589641000000     		ar = 23206.1417274574m²