Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58283 / 86238
↖ ↑ ↗
← S 49.321541°
W 19.920959°		 ← 199.04 m → S 49.321541°
W 19.918213°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 49.323332°
W 19.920959°		 ← 199.03 m →
39 627 m²		 S 49.323332°
W 19.918213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444667816162109 y=0.657947540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444667816162109 × 217)
    floor (0.444667816162109 × 131072)
    floor (58283.5)     		tx = 58283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657947540283203 × 217)
    floor (0.657947540283203 × 131072)
    floor (86238.5)     		ty = 86238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58283 / 86238 ti = "17/58283/86238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58283/86238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58283 ÷ 217
    58283 ÷ 131072     		x = 0.444664001464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86238 ÷ 217
    86238 ÷ 131072     		y = 0.657943725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444664001464844 × 2 - 1) × π
    -0.110671997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34768633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657943725585938 × 2 - 1) × π
    -0.315887451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.992389695934403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34768633} λ = -0.34768633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992389695934403))-π/2
    2×atan(0.370689795841158)-π/2
    2×0.354986516834738-π/2
    0.709973033669477-1.57079632675     		φ = -0.86082329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34768633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.920959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86082329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.321541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58283 KachelY 86238 -0.34768633 -0.86082329 -19.920959 -49.321541
    Oben rechts KachelX + 1 58284 KachelY 86238 -0.34763840 -0.86082329 -19.918213 -49.321541
    Unten links KachelX 58283 KachelY + 1 86239 -0.34768633 -0.86085454 -19.920959 -49.323332
    Unten rechts KachelX + 1 58284 KachelY + 1 86239 -0.34763840 -0.86085454 -19.918213 -49.323332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86082329--0.86085454) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86082329--0.86085454) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34768633--0.34763840) × cos(-0.86082329) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651813322917788 × 6371000     		do = 199.039039467113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34768633--0.34763840) × cos(-0.86085454) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651789623241672 × 6371000     		du = 199.031802485904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86082329)-sin(-0.86085454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651813322917788-0.651789623241672)×R²
    abs(-0.34763840--0.34768633)×2.36996761155961e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36996761155961e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36996761155961e-05×40589641000000     		ar = 39626.7083482624m²