Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58283 / 86170
↖ ↑ ↗
← S 49.199653°
W 19.920959°		 ← 199.53 m → S 49.199653°
W 19.918213°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
S 49.201448°
W 19.920959°		 ← 199.52 m →
39 826 m²		 S 49.201448°
W 19.918213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444667816162109 y=0.657428741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444667816162109 × 217)
    floor (0.444667816162109 × 131072)
    floor (58283.5)     		tx = 58283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657428741455078 × 217)
    floor (0.657428741455078 × 131072)
    floor (86170.5)     		ty = 86170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58283 / 86170 ti = "17/58283/86170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58283/86170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58283 ÷ 217
    58283 ÷ 131072     		x = 0.444664001464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86170 ÷ 217
    86170 ÷ 131072     		y = 0.657424926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444664001464844 × 2 - 1) × π
    -0.110671997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34768633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657424926757812 × 2 - 1) × π
    -0.314849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.989129986760239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34768633} λ = -0.34768633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989129986760239))-π/2
    2×atan(0.371900108331092)-π/2
    2×0.356050191175431-π/2
    0.712100382350861-1.57079632675     		φ = -0.85869594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34768633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.920959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85869594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.199653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58283 KachelY 86170 -0.34768633 -0.85869594 -19.920959 -49.199653
    Oben rechts KachelX + 1 58284 KachelY 86170 -0.34763840 -0.85869594 -19.918213 -49.199653
    Unten links KachelX 58283 KachelY + 1 86171 -0.34768633 -0.85872727 -19.920959 -49.201448
    Unten rechts KachelX + 1 58284 KachelY + 1 86171 -0.34763840 -0.85872727 -19.918213 -49.201448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85869594--0.85872727) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85869594--0.85872727) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34768633--0.34763840) × cos(-0.85869594) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.653425185297992 × 6371000     		do = 199.531241035612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34768633--0.34763840) × cos(-0.85872727) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.653401468446106 × 6371000     		du = 199.523998809575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85869594)-sin(-0.85872727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653425185297992-0.653401468446106)×R²
    abs(-0.34763840--0.34768633)×2.37168518859576e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37168518859576e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37168518859576e-05×40589641000000     		ar = 39826.3973196966m²