Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58282 / 86586
↖ ↑ ↗
← S 49.940615°
W 19.923706°		 ← 196.57 m → S 49.940615°
W 19.920959°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
S 49.942383°
W 19.923706°		 ← 196.56 m →
38 633 m²		 S 49.942383°
W 19.920959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444660186767578 y=0.660602569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444660186767578 × 217)
    floor (0.444660186767578 × 131072)
    floor (58282.5)     		tx = 58282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660602569580078 × 217)
    floor (0.660602569580078 × 131072)
    floor (86586.5)     		ty = 86586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58282 / 86586 ti = "17/58282/86586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58282/86586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58282 ÷ 217
    58282 ÷ 131072     		x = 0.444656372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86586 ÷ 217
    86586 ÷ 131072     		y = 0.660598754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444656372070312 × 2 - 1) × π
    -0.110687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34773427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660598754882812 × 2 - 1) × π
    -0.321197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00907173700218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34773427} λ = -0.34773427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00907173700218))-π/2
    2×atan(0.364557227540611)-π/2
    2×0.349584080690419-π/2
    0.699168161380838-1.57079632675     		φ = -0.87162817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34773427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.923706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87162817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.940615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58282 KachelY 86586 -0.34773427 -0.87162817 -19.923706 -49.940615
    Oben rechts KachelX + 1 58283 KachelY 86586 -0.34768633 -0.87162817 -19.920959 -49.940615
    Unten links KachelX 58282 KachelY + 1 86587 -0.34773427 -0.87165902 -19.923706 -49.942383
    Unten rechts KachelX + 1 58283 KachelY + 1 86587 -0.34768633 -0.87165902 -19.920959 -49.942383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87162817--0.87165902) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dl = 196.545349999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87162817--0.87165902) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dr = 196.545349999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34773427--0.34768633) × cos(-0.87162817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64358123564717 × 6371000     		do = 196.56627514775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34773427--0.34768633) × cos(-0.87165902) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643557623435458 × 6371000     		du = 196.559063370515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87162817)-sin(-0.87165902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64358123564717-0.643557623435458)×R²
    abs(-0.34768633--0.34773427)×2.36122117118764e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36122117118764e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36122117118764e-05×40589641000000     		ar = 38633.4786294137m²