Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58282 / 36153
↖ ↑ ↗
← N 62.521191°
W 19.923706°		 ← 140.93 m → N 62.521191°
W 19.920959°		 →
↑
140.93 m
↓
↑
140.93 m
↓
N 62.519923°
W 19.923706°		 ← 140.94 m →
19 861 m²		 N 62.519923°
W 19.920959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444660186767578 y=0.275829315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444660186767578 × 217)
    floor (0.444660186767578 × 131072)
    floor (58282.5)     		tx = 58282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275829315185547 × 217)
    floor (0.275829315185547 × 131072)
    floor (36153.5)     		ty = 36153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58282 / 36153 ti = "17/58282/36153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58282/36153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58282 ÷ 217
    58282 ÷ 131072     		x = 0.444656372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36153 ÷ 217
    36153 ÷ 131072     		y = 0.275825500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444656372070312 × 2 - 1) × π
    -0.110687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34773427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275825500488281 × 2 - 1) × π
    0.448348999023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.40852992153611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34773427} λ = -0.34773427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40852992153611))-π/2
    2×atan(4.08993845202203)-π/2
    2×1.33099847719458-π/2
    2.66199695438915-1.57079632675     		φ = 1.09120063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34773427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.923706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09120063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.521191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58282 KachelY 36153 -0.34773427 1.09120063 -19.923706 62.521191
    Oben rechts KachelX + 1 58283 KachelY 36153 -0.34768633 1.09120063 -19.920959 62.521191
    Unten links KachelX 58282 KachelY + 1 36154 -0.34773427 1.09117851 -19.923706 62.519923
    Unten rechts KachelX + 1 58283 KachelY + 1 36154 -0.34768633 1.09117851 -19.920959 62.519923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09120063-1.09117851) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dl = 140.926519999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09120063-1.09117851) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dr = 140.926519999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34773427--0.34768633) × cos(1.09120063) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.461420522919602 × 6371000     		do = 140.929704663977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34773427--0.34768633) × cos(1.09117851) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.46144014726258 × 6371000     		du = 140.935698443453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09120063)-sin(1.09117851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461420522919602-0.46144014726258)×R²
    abs(-0.34768633--0.34773427)×1.96243429787524e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96243429787524e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96243429787524e-05×40589641000000     		ar = 19861.1551850097m²