Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58281 / 86537
↖ ↑ ↗
← S 49.853922°
W 19.926453°		 ← 196.92 m → S 49.853922°
W 19.923706°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
S 49.855693°
W 19.926453°		 ← 196.91 m →
38 778 m²		 S 49.855693°
W 19.923706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444652557373047 y=0.660228729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444652557373047 × 217)
    floor (0.444652557373047 × 131072)
    floor (58281.5)     		tx = 58281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660228729248047 × 217)
    floor (0.660228729248047 × 131072)
    floor (86537.5)     		ty = 86537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58281 / 86537 ti = "17/58281/86537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58281/86537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58281 ÷ 217
    58281 ÷ 131072     		x = 0.444648742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86537 ÷ 217
    86537 ÷ 131072     		y = 0.660224914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444648742675781 × 2 - 1) × π
    -0.110702514648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34778221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660224914550781 × 2 - 1) × π
    -0.320449829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.0067228289208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34778221} λ = -0.34778221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0067228289208))-π/2
    2×atan(0.365414545444806)-π/2
    2×0.350340616836358-π/2
    0.700681233672716-1.57079632675     		φ = -0.87011509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34778221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.926453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87011509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.853922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58281 KachelY 86537 -0.34778221 -0.87011509 -19.926453 -49.853922
    Oben rechts KachelX + 1 58282 KachelY 86537 -0.34773427 -0.87011509 -19.923706 -49.853922
    Unten links KachelX 58281 KachelY + 1 86538 -0.34778221 -0.87014600 -19.926453 -49.855693
    Unten rechts KachelX + 1 58282 KachelY + 1 86538 -0.34773427 -0.87014600 -19.923706 -49.855693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87011509--0.87014600) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87011509--0.87014600) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34778221--0.34773427) × cos(-0.87011509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644738576352241 × 6371000     		do = 196.919756788801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34778221--0.34773427) × cos(-0.87014600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644714948343031 × 6371000     		du = 196.912540186603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87011509)-sin(-0.87014600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644738576352241-0.644714948343031)×R²
    abs(-0.34773427--0.34778221)×2.3628009210519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3628009210519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3628009210519e-05×40589641000000     		ar = 38778.2264951115m²