Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58281 / 38393
↖ ↑ ↗
← N 59.544065°
W 19.926453°		 ← 154.81 m → N 59.544065°
W 19.923706°		 →
↑
154.82 m
↓
↑
154.82 m
↓
N 59.542672°
W 19.926453°		 ← 154.82 m →
23 968 m²		 N 59.542672°
W 19.923706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444652557373047 y=0.292919158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444652557373047 × 217)
    floor (0.444652557373047 × 131072)
    floor (58281.5)     		tx = 58281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292919158935547 × 217)
    floor (0.292919158935547 × 131072)
    floor (38393.5)     		ty = 38393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58281 / 38393 ti = "17/58281/38393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58281/38393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58281 ÷ 217
    58281 ÷ 131072     		x = 0.444648742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38393 ÷ 217
    38393 ÷ 131072     		y = 0.292915344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444648742675781 × 2 - 1) × π
    -0.110702514648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34778221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292915344238281 × 2 - 1) × π
    0.414169311523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.30115126638718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34778221} λ = -0.34778221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30115126638718))-π/2
    2×atan(3.67352343813984)-π/2
    2×1.30501815236219-π/2
    2.61003630472437-1.57079632675     		φ = 1.03923998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34778221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.926453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03923998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.544065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58281 KachelY 38393 -0.34778221 1.03923998 -19.926453 59.544065
    Oben rechts KachelX + 1 58282 KachelY 38393 -0.34773427 1.03923998 -19.923706 59.544065
    Unten links KachelX 58281 KachelY + 1 38394 -0.34778221 1.03921568 -19.926453 59.542672
    Unten rechts KachelX + 1 58282 KachelY + 1 38394 -0.34773427 1.03921568 -19.923706 59.542672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03923998-1.03921568) × R
    2.42999999999771e-05 × 6371000     		dl = 154.815299999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03923998-1.03921568) × R
    2.42999999999771e-05 × 6371000     		dr = 154.815299999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34778221--0.34773427) × cos(1.03923998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506875555426369 × 6371000     		do = 154.812841603908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34778221--0.34773427) × cos(1.03921568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506896502344263 × 6371000     		du = 154.819239331807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03923998)-sin(1.03921568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506875555426369-0.506896502344263)×R²
    abs(-0.34773427--0.34778221)×2.09469178940047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09469178940047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09469178940047e-05×40589641000000     		ar = 23967.8917510898m²