Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58280 / 86585
↖ ↑ ↗
← S 49.938847°
W 19.929199°		 ← 196.53 m → S 49.938847°
W 19.926453°		 →
↑
196.61 m
↓
↑
196.61 m
↓
S 49.940615°
W 19.929199°		 ← 196.53 m →
38 639 m²		 S 49.940615°
W 19.926453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444644927978516 y=0.660594940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444644927978516 × 217)
    floor (0.444644927978516 × 131072)
    floor (58280.5)     		tx = 58280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660594940185547 × 217)
    floor (0.660594940185547 × 131072)
    floor (86585.5)     		ty = 86585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58280 / 86585 ti = "17/58280/86585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58280/86585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58280 ÷ 217
    58280 ÷ 131072     		x = 0.44464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86585 ÷ 217
    86585 ÷ 131072     		y = 0.660591125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34783014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660591125488281 × 2 - 1) × π
    -0.321182250976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.00902380010256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34783014} λ = -0.34783014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00902380010256))-π/2
    2×atan(0.364574703702707)-π/2
    2×0.349599506618032-π/2
    0.699199013236063-1.57079632675     		φ = -0.87159731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34783014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.929199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87159731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.938847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58280 KachelY 86585 -0.34783014 -0.87159731 -19.929199 -49.938847
    Oben rechts KachelX + 1 58281 KachelY 86585 -0.34778221 -0.87159731 -19.926453 -49.938847
    Unten links KachelX 58280 KachelY + 1 86586 -0.34783014 -0.87162817 -19.929199 -49.940615
    Unten rechts KachelX + 1 58281 KachelY + 1 86586 -0.34778221 -0.87162817 -19.926453 -49.940615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87159731--0.87162817) × R
    3.08600000000769e-05 × 6371000     		dl = 196.60906000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87159731--0.87162817) × R
    3.08600000000769e-05 × 6371000     		dr = 196.60906000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34783014--0.34778221) × cos(-0.87159731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64360485489995 × 6371000     		do = 196.532485010225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34783014--0.34778221) × cos(-0.87162817) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64358123564717 × 6371000     		du = 196.525272587248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87159731)-sin(-0.87162817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64360485489995-0.64358123564717)×R²
    abs(-0.34778221--0.34783014)×2.36192527808265e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36192527808265e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36192527808265e-05×40589641000000     		ar = 38639.358126628m²