Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58280 / 36196
↖ ↑ ↗
← N 62.466646°
W 19.929199°		 ← 141.16 m → N 62.466646°
W 19.926453°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
N 62.465376°
W 19.929199°		 ← 141.16 m →
19 929 m²		 N 62.465376°
W 19.926453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444644927978516 y=0.276157379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444644927978516 × 217)
    floor (0.444644927978516 × 131072)
    floor (58280.5)     		tx = 58280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276157379150391 × 217)
    floor (0.276157379150391 × 131072)
    floor (36196.5)     		ty = 36196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58280 / 36196 ti = "17/58280/36196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58280/36196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58280 ÷ 217
    58280 ÷ 131072     		x = 0.44464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36196 ÷ 217
    36196 ÷ 131072     		y = 0.276153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34783014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276153564453125 × 2 - 1) × π
    0.44769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40646863485245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34783014} λ = -0.34783014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40646863485245))-π/2
    2×atan(4.08151659926232)-π/2
    2×1.3305224821726-π/2
    2.6610449643452-1.57079632675     		φ = 1.09024864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34783014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.929199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09024864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.466646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58280 KachelY 36196 -0.34783014 1.09024864 -19.929199 62.466646
    Oben rechts KachelX + 1 58281 KachelY 36196 -0.34778221 1.09024864 -19.926453 62.466646
    Unten links KachelX 58280 KachelY + 1 36197 -0.34783014 1.09022648 -19.929199 62.465376
    Unten rechts KachelX + 1 58281 KachelY + 1 36197 -0.34778221 1.09022648 -19.926453 62.465376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09024864-1.09022648) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dl = 141.18135999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09024864-1.09022648) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dr = 141.18135999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34783014--0.34778221) × cos(1.09024864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.462264901665713 × 6371000     		do = 141.158148770479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34783014--0.34778221) × cos(1.09022648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.462284551752258 × 6371000     		du = 141.164149160796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09024864)-sin(1.09022648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462264901665713-0.462284551752258)×R²
    abs(-0.34778221--0.34783014)×1.9650086544698e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9650086544698e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9650086544698e-05×40589641000000     		ar = 19929.3229908664m²