Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58280 / 29233
↖ ↑ ↗
← N 70.094594°
W 19.929199°		 ← 103.97 m → N 70.094594°
W 19.926453°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
N 70.093659°
W 19.929199°		 ← 103.97 m →
10 810 m²		 N 70.093659°
W 19.926453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444644927978516 y=0.223033905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444644927978516 × 217)
    floor (0.444644927978516 × 131072)
    floor (58280.5)     		tx = 58280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223033905029297 × 217)
    floor (0.223033905029297 × 131072)
    floor (29233.5)     		ty = 29233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58280 / 29233 ti = "17/58280/29233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58280/29233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58280 ÷ 217
    58280 ÷ 131072     		x = 0.44464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29233 ÷ 217
    29233 ÷ 131072     		y = 0.223030090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34783014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223030090332031 × 2 - 1) × π
    0.553939819335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.7402532669069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34783014} λ = -0.34783014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7402532669069))-π/2
    2×atan(5.69878655395917)-π/2
    2×1.3970888878829-π/2
    2.79417777576581-1.57079632675     		φ = 1.22338145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34783014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.929199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22338145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.094594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58280 KachelY 29233 -0.34783014 1.22338145 -19.929199 70.094594
    Oben rechts KachelX + 1 58281 KachelY 29233 -0.34778221 1.22338145 -19.926453 70.094594
    Unten links KachelX 58280 KachelY + 1 29234 -0.34783014 1.22336513 -19.929199 70.093659
    Unten rechts KachelX + 1 58281 KachelY + 1 29234 -0.34778221 1.22336513 -19.926453 70.093659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22338145-1.22336513) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dl = 103.974720000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22338145-1.22336513) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dr = 103.974720000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34783014--0.34778221) × cos(1.22338145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340468270193275 × 6371000     		do = 103.966082136871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34783014--0.34778221) × cos(1.22336513) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340483615125953 × 6371000     		du = 103.970767896664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22338145)-sin(1.22336513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340468270193275-0.340483615125953)×R²
    abs(-0.34778221--0.34783014)×1.53449326782407e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53449326782407e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53449326782407e-05×40589641000000     		ar = 10810.0878801908m²