Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58279 / 86633
↖ ↑ ↗
← S 50.023623°
W 19.931946°		 ← 196.23 m → S 50.023623°
W 19.929199°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
S 50.025387°
W 19.931946°		 ← 196.22 m →
38 492 m²		 S 50.025387°
W 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444637298583984 y=0.660961151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444637298583984 × 217)
    floor (0.444637298583984 × 131072)
    floor (58279.5)     		tx = 58279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660961151123047 × 217)
    floor (0.660961151123047 × 131072)
    floor (86633.5)     		ty = 86633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58279 / 86633 ti = "17/58279/86633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58279/86633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58279 ÷ 217
    58279 ÷ 131072     		x = 0.444633483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86633 ÷ 217
    86633 ÷ 131072     		y = 0.660957336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444633483886719 × 2 - 1) × π
    -0.110733032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34787808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660957336425781 × 2 - 1) × π
    -0.321914672851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.01132477128432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34787808} λ = -0.34787808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01132477128432))-π/2
    2×atan(0.363736792190699)-π/2
    2×0.348859700394887-π/2
    0.697719400789775-1.57079632675     		φ = -0.87307693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34787808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.931946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87307693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.023623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58279 KachelY 86633 -0.34787808 -0.87307693 -19.931946 -50.023623
    Oben rechts KachelX + 1 58280 KachelY 86633 -0.34783014 -0.87307693 -19.929199 -50.023623
    Unten links KachelX 58279 KachelY + 1 86634 -0.34787808 -0.87310772 -19.931946 -50.025387
    Unten rechts KachelX + 1 58280 KachelY + 1 86634 -0.34783014 -0.87310772 -19.929199 -50.025387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87307693--0.87310772) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dl = 196.163090000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87307693--0.87310772) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dr = 196.163090000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34787808--0.34783014) × cos(-0.87307693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642471711870033 × 6371000     		do = 196.227398026843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34787808--0.34783014) × cos(-0.87310772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642448116899012 × 6371000     		du = 196.220191515359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87307693)-sin(-0.87310772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642471711870033-0.642448116899012)×R²
    abs(-0.34783014--0.34787808)×2.35949710203354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35949710203354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35949710203354e-05×40589641000000     		ar = 38491.8659167689m²