Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58279 / 29232
↖ ↑ ↗
← N 70.095529°
W 19.931946°		 ← 103.98 m → N 70.095529°
W 19.929199°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
N 70.094594°
W 19.931946°		 ← 103.99 m →
10 812 m²		 N 70.094594°
W 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444637298583984 y=0.223026275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444637298583984 × 217)
    floor (0.444637298583984 × 131072)
    floor (58279.5)     		tx = 58279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223026275634766 × 217)
    floor (0.223026275634766 × 131072)
    floor (29232.5)     		ty = 29232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58279 / 29232 ti = "17/58279/29232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58279/29232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58279 ÷ 217
    58279 ÷ 131072     		x = 0.444633483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29232 ÷ 217
    29232 ÷ 131072     		y = 0.2230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444633483886719 × 2 - 1) × π
    -0.110733032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34787808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2230224609375 × 2 - 1) × π
    0.553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74030120380652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34787808} λ = -0.34787808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74030120380652))-π/2
    2×atan(5.69905974266603)-π/2
    2×1.39709704819567-π/2
    2.79419409639133-1.57079632675     		φ = 1.22339777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34787808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.931946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22339777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.095529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58279 KachelY 29232 -0.34787808 1.22339777 -19.931946 70.095529
    Oben rechts KachelX + 1 58280 KachelY 29232 -0.34783014 1.22339777 -19.929199 70.095529
    Unten links KachelX 58279 KachelY + 1 29233 -0.34787808 1.22338145 -19.931946 70.094594
    Unten rechts KachelX + 1 58280 KachelY + 1 29233 -0.34783014 1.22338145 -19.929199 70.094594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22339777-1.22338145) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dl = 103.974720000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22339777-1.22338145) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dr = 103.974720000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34787808--0.34783014) × cos(1.22339777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340452925169916 × 6371000     		do = 103.983086605118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34787808--0.34783014) × cos(1.22338145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340468270193275 × 6371000     		du = 103.987773370233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22339777)-sin(1.22338145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340452925169916-0.340468270193275)×R²
    abs(-0.34783014--0.34787808)×1.53450233593699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53450233593699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53450233593699e-05×40589641000000     		ar = 10811.8559673403m²