Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58278 / 29218
↖ ↑ ↗
← N 70.108616°
W 19.934693°		 ← 103.92 m → N 70.108616°
W 19.931946°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
N 70.107681°
W 19.934693°		 ← 103.92 m →
10 798 m²		 N 70.107681°
W 19.931946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444629669189453 y=0.222919464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444629669189453 × 217)
    floor (0.444629669189453 × 131072)
    floor (58278.5)     		tx = 58278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222919464111328 × 217)
    floor (0.222919464111328 × 131072)
    floor (29218.5)     		ty = 29218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58278 / 29218 ti = "17/58278/29218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58278/29218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58278 ÷ 217
    58278 ÷ 131072     		x = 0.444625854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29218 ÷ 217
    29218 ÷ 131072     		y = 0.222915649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444625854492188 × 2 - 1) × π
    -0.110748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34792602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222915649414062 × 2 - 1) × π
    0.554168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7409723204012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34792602} λ = -0.34792602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7409723204012))-π/2
    2×atan(5.70288575994165)-π/2
    2×1.39721125396155-π/2
    2.7944225079231-1.57079632675     		φ = 1.22362618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34792602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.934693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22362618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.108616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58278 KachelY 29218 -0.34792602 1.22362618 -19.934693 70.108616
    Oben rechts KachelX + 1 58279 KachelY 29218 -0.34787808 1.22362618 -19.931946 70.108616
    Unten links KachelX 58278 KachelY + 1 29219 -0.34792602 1.22360987 -19.934693 70.107681
    Unten rechts KachelX + 1 58279 KachelY + 1 29219 -0.34787808 1.22360987 -19.931946 70.107681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22362618-1.22360987) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22362618-1.22360987) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34792602--0.34787808) × cos(1.22362618) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340238151147407 × 6371000     		do = 103.917489090481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34792602--0.34787808) × cos(1.22360987) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340253488036147 × 6371000     		du = 103.922173371073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22362618)-sin(1.22360987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340238151147407-0.340253488036147)×R²
    abs(-0.34787808--0.34792602)×1.53368887397809e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.53368887397809e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.53368887397809e-05×40589641000000     		ar = 10798.414622389m²