Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58277 / 86563
↖ ↑ ↗
← S 49.899942°
W 19.937439°		 ← 196.69 m → S 49.899942°
W 19.934693°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
S 49.901711°
W 19.937439°		 ← 196.68 m →
38 683 m²		 S 49.901711°
W 19.934693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444622039794922 y=0.660427093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444622039794922 × 217)
    floor (0.444622039794922 × 131072)
    floor (58277.5)     		tx = 58277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660427093505859 × 217)
    floor (0.660427093505859 × 131072)
    floor (86563.5)     		ty = 86563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58277 / 86563 ti = "17/58277/86563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58277/86563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58277 ÷ 217
    58277 ÷ 131072     		x = 0.444618225097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86563 ÷ 217
    86563 ÷ 131072     		y = 0.660423278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444618225097656 × 2 - 1) × π
    -0.110763549804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34797395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660423278808594 × 2 - 1) × π
    -0.320846557617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.00796918831092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34797395} λ = -0.34797395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00796918831092))-π/2
    2×atan(0.364959391296548)-π/2
    2×0.349939020226797-π/2
    0.699878040453595-1.57079632675     		φ = -0.87091829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34797395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.937439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87091829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.899942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58277 KachelY 86563 -0.34797395 -0.87091829 -19.937439 -49.899942
    Oben rechts KachelX + 1 58278 KachelY 86563 -0.34792602 -0.87091829 -19.934693 -49.899942
    Unten links KachelX 58277 KachelY + 1 86564 -0.34797395 -0.87094916 -19.937439 -49.901711
    Unten rechts KachelX + 1 58278 KachelY + 1 86564 -0.34792602 -0.87094916 -19.934693 -49.901711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87091829--0.87094916) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87091829--0.87094916) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34797395--0.34792602) × cos(-0.87091829) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644124399841986 × 6371000     		do = 196.691134308173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34797395--0.34792602) × cos(-0.87094916) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644100786431451 × 6371000     		du = 196.683923669197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87091829)-sin(-0.87094916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644124399841986-0.644100786431451)×R²
    abs(-0.34792602--0.34797395)×2.36134105356944e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36134105356944e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36134105356944e-05×40589641000000     		ar = 38683.0811536779m²