Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58275 / 86565
↖ ↑ ↗
← S 49.903480°
W 19.942932°		 ← 196.72 m → S 49.903480°
W 19.940185°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
S 49.905249°
W 19.942932°		 ← 196.71 m →
38 688 m²		 S 49.905249°
W 19.940185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444606781005859 y=0.660442352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444606781005859 × 217)
    floor (0.444606781005859 × 131072)
    floor (58275.5)     		tx = 58275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660442352294922 × 217)
    floor (0.660442352294922 × 131072)
    floor (86565.5)     		ty = 86565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58275 / 86565 ti = "17/58275/86565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58275/86565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58275 ÷ 217
    58275 ÷ 131072     		x = 0.444602966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86565 ÷ 217
    86565 ÷ 131072     		y = 0.660438537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444602966308594 × 2 - 1) × π
    -0.110794067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34806983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660438537597656 × 2 - 1) × π
    -0.320877075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.00806506211016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34806983} λ = -0.34806983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00806506211016))-π/2
    2×atan(0.364924402930396)-π/2
    2×0.349908144032165-π/2
    0.699816288064329-1.57079632675     		φ = -0.87098004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34806983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.942932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87098004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.903480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58275 KachelY 86565 -0.34806983 -0.87098004 -19.942932 -49.903480
    Oben rechts KachelX + 1 58276 KachelY 86565 -0.34802189 -0.87098004 -19.940185 -49.903480
    Unten links KachelX 58275 KachelY + 1 86566 -0.34806983 -0.87101091 -19.942932 -49.905249
    Unten rechts KachelX + 1 58276 KachelY + 1 86566 -0.34802189 -0.87101091 -19.940185 -49.905249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87098004--0.87101091) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87098004--0.87101091) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34806983--0.34802189) × cos(-0.87098004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644077164757509 × 6371000     		do = 196.717744663263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34806983--0.34802189) × cos(-0.87101091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644053550119197 × 6371000     		du = 196.710532144881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87098004)-sin(-0.87101091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644077164757509-0.644053550119197)×R²
    abs(-0.34802189--0.34806983)×2.36146383126856e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36146383126856e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36146383126856e-05×40589641000000     		ar = 38688.3145012805m²