Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58275 / 86305
↖ ↑ ↗
← S 49.441343°
W 19.942932°		 ← 198.60 m → S 49.441343°
W 19.940185°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
S 49.443129°
W 19.942932°		 ← 198.59 m →
39 437 m²		 S 49.443129°
W 19.940185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444606781005859 y=0.658458709716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444606781005859 × 217)
    floor (0.444606781005859 × 131072)
    floor (58275.5)     		tx = 58275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658458709716797 × 217)
    floor (0.658458709716797 × 131072)
    floor (86305.5)     		ty = 86305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58275 / 86305 ti = "17/58275/86305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58275/86305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58275 ÷ 217
    58275 ÷ 131072     		x = 0.444602966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86305 ÷ 217
    86305 ÷ 131072     		y = 0.658454895019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444602966308594 × 2 - 1) × π
    -0.110794067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34806983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658454895019531 × 2 - 1) × π
    -0.316909790039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.995601468208946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34806983} λ = -0.34806983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995601468208946))-π/2
    2×atan(0.369501134508975)-π/2
    2×0.353941053378924-π/2
    0.707882106757847-1.57079632675     		φ = -0.86291422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34806983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.942932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86291422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.441343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58275 KachelY 86305 -0.34806983 -0.86291422 -19.942932 -49.441343
    Oben rechts KachelX + 1 58276 KachelY 86305 -0.34802189 -0.86291422 -19.940185 -49.441343
    Unten links KachelX 58275 KachelY + 1 86306 -0.34806983 -0.86294539 -19.942932 -49.443129
    Unten rechts KachelX + 1 58276 KachelY + 1 86306 -0.34802189 -0.86294539 -19.940185 -49.443129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86291422--0.86294539) × R
    3.11700000000803e-05 × 6371000     		dl = 198.584070000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86291422--0.86294539) × R
    3.11700000000803e-05 × 6371000     		dr = 198.584070000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34806983--0.34802189) × cos(-0.86291422) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650226180867678 × 6371000     		do = 198.595812458984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34806983--0.34802189) × cos(-0.86294539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650202499434552 × 6371000     		du = 198.588579539747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86291422)-sin(-0.86294539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650226180867678-0.650202499434552)×R²
    abs(-0.34802189--0.34806983)×2.36814331255886e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36814331255886e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36814331255886e-05×40589641000000     		ar = 39437.246554953m²