Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58275 / 35796
↖ ↑ ↗
← N 62.970205°
W 19.942932°		 ← 138.80 m → N 62.970205°
W 19.940185°		 →
↑
138.76 m
↓
↑
138.76 m
↓
N 62.968957°
W 19.942932°		 ← 138.81 m →
19 261 m²		 N 62.968957°
W 19.940185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444606781005859 y=0.273105621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444606781005859 × 217)
    floor (0.444606781005859 × 131072)
    floor (58275.5)     		tx = 58275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273105621337891 × 217)
    floor (0.273105621337891 × 131072)
    floor (35796.5)     		ty = 35796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58275 / 35796 ti = "17/58275/35796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58275/35796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58275 ÷ 217
    58275 ÷ 131072     		x = 0.444602966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35796 ÷ 217
    35796 ÷ 131072     		y = 0.273101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444602966308594 × 2 - 1) × π
    -0.110794067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34806983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273101806640625 × 2 - 1) × π
    0.45379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42564339470047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34806983} λ = -0.34806983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42564339470047))-π/2
    2×atan(4.16053384722858)-π/2
    2×1.33491686924432-π/2
    2.66983373848865-1.57079632675     		φ = 1.09903741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34806983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.942932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09903741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.970205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58275 KachelY 35796 -0.34806983 1.09903741 -19.942932 62.970205
    Oben rechts KachelX + 1 58276 KachelY 35796 -0.34802189 1.09903741 -19.940185 62.970205
    Unten links KachelX 58275 KachelY + 1 35797 -0.34806983 1.09901563 -19.942932 62.968957
    Unten rechts KachelX + 1 58276 KachelY + 1 35797 -0.34802189 1.09901563 -19.940185 62.968957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09903741-1.09901563) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dl = 138.760379999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09903741-1.09901563) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dr = 138.760379999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34806983--0.34802189) × cos(1.09903741) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454453778439399 × 6371000     		do = 138.801881575719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34806983--0.34802189) × cos(1.09901563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454473179309181 × 6371000     		du = 138.807807100729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09903741)-sin(1.09901563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454453778439399-0.454473179309181)×R²
    abs(-0.34802189--0.34806983)×1.94008697820824e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94008697820824e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94008697820824e-05×40589641000000     		ar = 19260.6129468376m²