Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58275 / 29225
↖ ↑ ↗
← N 70.102073°
W 19.942932°		 ← 103.95 m → N 70.102073°
W 19.940185°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
N 70.101139°
W 19.942932°		 ← 103.95 m →
10 802 m²		 N 70.101139°
W 19.940185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444606781005859 y=0.222972869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444606781005859 × 217)
    floor (0.444606781005859 × 131072)
    floor (58275.5)     		tx = 58275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222972869873047 × 217)
    floor (0.222972869873047 × 131072)
    floor (29225.5)     		ty = 29225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58275 / 29225 ti = "17/58275/29225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58275/29225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58275 ÷ 217
    58275 ÷ 131072     		x = 0.444602966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29225 ÷ 217
    29225 ÷ 131072     		y = 0.222969055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444602966308594 × 2 - 1) × π
    -0.110794067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34806983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222969055175781 × 2 - 1) × π
    0.554061889648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.74063676210386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34806983} λ = -0.34806983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74063676210386))-π/2
    2×atan(5.70097243034088)-π/2
    2×1.39715416008732-π/2
    2.79430832017464-1.57079632675     		φ = 1.22351199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34806983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.942932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22351199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.102073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58275 KachelY 29225 -0.34806983 1.22351199 -19.942932 70.102073
    Oben rechts KachelX + 1 58276 KachelY 29225 -0.34802189 1.22351199 -19.940185 70.102073
    Unten links KachelX 58275 KachelY + 1 29226 -0.34806983 1.22349568 -19.942932 70.101139
    Unten rechts KachelX + 1 58276 KachelY + 1 29226 -0.34802189 1.22349568 -19.940185 70.101139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22351199-1.22349568) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22351199-1.22349568) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34806983--0.34802189) × cos(1.22351199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340345526273681 × 6371000     		do = 103.950284217881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34806983--0.34802189) × cos(1.22349568) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340360862528634 × 6371000     		du = 103.954968304898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22351199)-sin(1.22349568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340345526273681-0.340360862528634)×R²
    abs(-0.34802189--0.34806983)×1.5336254952758e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5336254952758e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5336254952758e-05×40589641000000     		ar = 10801.8223870992m²